點乘及叉乘

向量（Vector）
在幾乎所有的幾何問題中，向量（有時也稱矢量）是一個基本點。向量的定義包含方向和一個數（長度）。在二維空間中，一個向量可以用一對x和y來表示。例如由點（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）來表示。這裏大家要特別注意，我這樣說並不代表向量定義了起點和終點。向量僅僅定義方向和長度。

向量加法
向量也支持各種數學運算。最簡單的就是加法。我們可以對兩個向量相加，得到的仍然是一個向量。我們有：
V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2)
下圖表示了四個向量相加。注意就像普通的加法一樣,相加的次序對結果沒有影響（滿足交換律），減法也是一樣的。


點乘（Dot Product）
如果說加法是憑直覺就可以知道的，另外還有一些運算就不是那麼明顯的，比如點乘和叉乘。
點乘比較簡單，是相應元素的乘積的和：
V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意結果不是一個向量，而是一個標量（Scalar）。點乘有什麼用呢，我們有：
A B = |A||B|Cos(θ)
θ是向量A和向量B見的夾角。這裏|A|我們稱爲向量A的模(norm)，也就是A的長度， 在二維空間中就是|A| = sqrt(x2+y2)。這樣我們就和容易計算兩條線的夾角：
Cos(θ) = A B /(|A||B|)

當然你知道要用一下反餘弦函數acos()啦。（回憶一下cos(90)=0 和cos(0) = 1還是有好處的，希望你沒有忘記。）這可以告訴我們如果點乘的結果，簡稱點積，爲0的話就表示這兩個向量垂直。當兩向量平行時，點積有最大值
另外，點乘運算不僅限於2維空間，他可以推廣到任意維空間。（譯註：不少人對量子力學中的高維空間無法理解，其實如果你不要試圖在視覺上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數學上的推廣，那麼就好理解了）


叉乘（cross product）
相對於點乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：
V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
看起來像個標量，事實上叉乘的結果是個向量，方向在z軸上。上述結果是它的模。在二維空間裏，讓我們暫時忽略它的方向，將結果看成一個向量，那麼這個結果類似於上述的點積，我們有：
A x B = |A||B|Sin(θ)
然而角度 θ和上面點乘的角度有一點點不同，他是有正負的，是指從A到B的角度。下圖中 θ爲負。
另外還有一個有用的特徵那就是叉積的絕對值就是A和B爲兩邊說形成的平行四邊形的面積。也就是AB所包圍三角形面積的兩倍。在計算面積時，我們要經常用到叉積。
（譯註：三維及以上的叉乘參看維基：http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product）
[img]http://file2.qlteacher.com/gz2011/images/upload/2011/07/19/1(2011-7-19.144847.499).jpg[/img]

點-線距離
找出一個點和一條線間的距離是經常遇見的幾何問題之一。假設給出三個點，A，B和C，你想找出點C到點A、B定出的直線間距離。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，現在我們用該兩向量的叉積除以|AB|，這就是我們要找的的距離了（下圖中的紅線）。
d = (AB x AC)/|AB|


如果你有基礎的高中幾何知識，你就知道原因了。上一節我們知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面積，這個三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距離。有時叉積得到的是一個負值，這種情況下距離就是上述結果的絕對值。
當我們要找點到線段的距離時，情況變得稍稍複雜一些。這時線段與點的最短距離可能是點到線段的某一端點，而不是點到直線的垂線。例如上圖中點C到線段AB的最短距離應該是線段BC。我們有集中不同的方法來判斷這種特殊情況。第一種情況是計算點積AB Bc來判定兩線段間夾角。如果點積大於等於零，那麼表示AB到BC是在-90到90度間，也就是說C到AB的垂線在AB外，那麼AB上到C距離最近的點就是B。同樣，如果BAAC大於等於零，那麼點A就是距離C最近的點。如果兩者均小於零，那麼距離最近的點就在線段AB中的莫一點。

源代碼參考如下：

//Compute the dot product AB BC
int dot(int[] A, int[] B, int[] C){
AB = new int[2];
BC = new int[2];
AB[0] = B[0]-A[0];
AB[1] = B[1]-A[1];
BC[0] = C[0]-B[0];
BC[1] = C[1]-B[1];
int dot = AB[0] * BC[0] + AB[1] * BC[1];
return dot;
}
//Compute the cross product AB x AC
int cross(int[] A, int[] B, int[] C){
AB = new int[2];
AC = new int[2];
AB[0] = B[0]-A[0];
AB[1] = B[1]-A[1];
AC[0] = C[0]-A[0];
AC[1] = C[1]-A[1];
int cross = AB[0] * AC[1] - AB[1] * AC[0];
return cross;
}
//Compute the distance from A to B
double distance(int[] A, int[] B){
int d1 = A[0] - B[0];
int d2 = A[1] - B[1];
return sqrt(d1*d1+d2*d2);
}
//Compute the distance from AB to C
//if isSegment is true, AB is a segment, not a line.
double linePointDist(int[] A, int[] B, int[] C, boolean isSegment){
double dist = cross(A,B,C) / distance(A,B);
if(isSegment){
int dot1 = dot(A,B,C);
if(dot1 > 0)return distance(B,C);
int dot2 = dot(B,A,C);
if(dot2 > 0)return distance(A,C);
}
return abs(dist);
}

上面的代碼看起來似乎是很繁瑣。不過我們可以看看在C++和C#中，採用了運算符重載的類point，用‘*’代表點乘，用'^'代表叉乘（當然'+''-'還是你所希望的），那麼看起來就簡單些，代碼如下：

//Compute the distance from AB to C
//if isSegment is true, AB is a segment, not a line.
double linePointDist(point A, point B, point C, bool isSegment){
double dist = ((B-A)^(C-A)) / sqrt((B-A)*(B-A));
if(isSegment){
int dot1 = (C-B)*(B-A);
if(dot1 > 0)return sqrt((B-C)*(B-C));
int dot2 = (C-A)*(A-B);
if(dot2 > 0)return sqrt((A-C)*(A-C));
}
return abs(dist);
}
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