極限是研究變量變化的過程，並通過變化的過程來把握變化的結果。一般來說一個函數某個點的結果是由函數確定了的，所以一個函數某個點的值一般就等於其極限。除非是提前，把那個點給挖走了，否則在那個變化過程中是沒有什麼辦法能阻止變化的趨勢的。但是也不能說極限就一定等於其函數值。
要理解好極限的定義，可以先從簡單的，描述性的定義入手，然後再轉到嚴格的數學定義上去。
描述性定義是這樣的： 當自變量x無限接近於定點 x0 時，函數 f(x) 無限接近於定值 a,那麼定值 a 就稱做函數 f（x）在x0的極限，記做 f '(x) = a.
換成更通俗的語言：你這樣變的時候，我就那樣變。
但是這個定義雖然形象，但是無限接近 是怎麼個接近，這種詞語只能用在文學創作上，不能用在數學定義上。
所以這裏的關鍵是如何用數學語言來表達無限接近。
換個思維，無限接近實際上就是距離越來越少。所以可以將“自變量x無限接近於定點 x0”，轉變成動點x離定點x0的距離 |x-x0|越來越小 ,如果 |x-x0| < a ,而且a又是可以要多小就有多小的正數，就用數學表達了無限接近的意思了。
我們再來看看極限的標準數學定義：
設函數是f(x)在某去心鄰域有定義，如果存在常數A,對於任意給定的正數@（無論多麼小），總存在正數&，使得當x滿足不等式的時候0<|x-x0|<&時，對應的函數值滿足：
|f(x)-A|<@ ,那麼常數A就叫做f(x)的極限。
可以把這個定義的句子順序調一下，就看的更清楚：
如果 0< |x - x0| < & （&爲任意正數），|f(x)-A| < @ （@ 任意小），常數A 就叫做 f(x) 的極限。
OK，就是這麼簡單，理解這個定義的關鍵點就是 明白 無限接近某個數 等價於用一個動點減去哪個定點的絕對值來表示。