第三章 二維隨機變量
3.1 聯合分佈
定義1 設試驗E的樣本空間爲S={e}，而X=X(e),Y=Y(e)是定義在S上的兩個隨機變量。稱由這兩個隨機變量組成的向量(X,Y)爲二維隨機變量或二維隨機向量。
定義 2 設(X,Y)爲二維隨機變量，對任意實數x,y，二元函數
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
稱爲二維隨機變量（X,Y）的分佈函數，或稱之爲隨機變量X和Y的聯合分佈函數。
二維分佈函數F(X,Y)的性質：
1. 取值範圍：0≤F(x,y)≤1 ,且
F(x,−∞)=F(−∞,y)=F(−∞,−∞)=0F(+∞,+∞)=1
2. F(x,y)對x或對y單調不減。
3. F(x,y)對x或對y右連續。
4. 對任意實數
x1<x2,y1<y2 ，恆有
F(x2,y2)+F(x1,y1)−F(x1,y2)−F(x2,y1)≥0
定義 3 若二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值爲有限對或可列對
(xi,yi),i,j=1,2,3,... ，則稱(X,Y)是離散型隨機變量。記
P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,3,...
稱爲二維離散型隨機變量(X,Y)的分佈律，或稱隨機變量X和Y的聯合分佈律。
定義 4 設二維隨機變量(X,Y)的分佈函數爲F(x,y)，若有非負函數f(x,y),使得對任意實數x,y,恆有
F(x,y)=∫y−∞∫x−∞f(u,v)dudv
則稱(X,Y)是二維連續型隨機變量，稱函數f(x,y)爲連續型隨機變量(X,Y)的概率密度，稱爲隨機變量X與Y的聯合概率密度。
常用的二維連續型隨機變量有下面兩種：
1. 均勻分佈
若隨機變量(X,Y)的概率密度爲
f(x,y)={1A,(x,y)
2. 正態分佈
若隨機變量(X,Y)的概率密度爲
f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ1)2σ22]}
式中，
μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 均爲常數，且
−∞<μ1<+∞,−∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1, 則稱隨機變量(X,Y)服從參數爲
μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 的二維正態分佈，記作
(X,Y)∼N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ)
3.2 邊沿分佈律與條件分佈律
3.2.1 邊沿分佈律
設(X,Y)的分佈律爲
pij=PX=xi,Y=yh,i,j=1,2,3...
由於
∑∞j=1{Y=yj}=S 且
{Y=y1},{Y=y2},...,{Y=yj},... 互不相容，故由概率性質得(X,Y)關於X的邊沿分佈律爲
pi.=P{X=xi}=P{(X=xi)[∑j=1∞(Y=yj)]}=P{∑j=1∞(X=xi,Y=yj)}=∑j=1∞P{X=xi,Y=yj}=∑j=1∞pij,i=1,2,3,...
即
pi.=∑j=1∞pij,i=1,2,3...
同理，(X,Y)關於Y的邊沿分佈律爲
p.j=P{Y=yi}=∑∞j=1pij,j=1,2,3,...
3.2.2 條件分佈律
定義 5 對於二維離散型隨機變量(X,Y)，當p.j>0 時，稱
P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j,i=1,2,3,...
爲在
Y=yj 的條件下X的條件分佈律。
（X,Y對調後同理，不再贅述）
3.3 邊沿分佈函數
設(X,Y)的分佈函數爲F(x,y),記(X,Y)關於X和關於Y的邊沿分佈函數分別爲FX(x),FY(y) ，則
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)
同理
FY(y)=F(+∞,y)
邊沿分佈函數可由聯合分佈函數得到。
3.4 邊沿概率密度與條件概率密度
3.4.1 邊沿概率密度
設連續型隨機變量(X,Y)的概率密度爲f(x,y),可得
FX(x)=F(x,+∞)=∫x−∞[∫+∞−∞f(x,y)dy]dxFY(y)=F(+∞,y)=∫y−∞[∫+∞−∞f(x,y)dx]dy
關於X的邊沿概率密度爲
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
關於Y的邊沿概率密度爲
fY(x)=∫+∞−∞f(x,y)dx
求二維正態分佈的兩個邊沿概率密度可知：其兩個邊沿分佈都是一維正態分佈，並且都不依賴於參數ρ 。於是，對於給定參數μ1,μ2,σ1,σ2, 不同的參數ρ 對應不同二維正態分佈，他們的邊沿分佈式完全相同的。因此，聯合分佈可以完全確定他的邊沿分佈，但邊沿分佈一般情況下不能確定聯合分佈。
3.4.2 條件概率密度
定義 6 對於二維連續型隨機變量(X,Y)，如果存在極限
limε→0+P{X≤x|y−ε<Y≤y+ε}
則稱此極限爲在條件Y=y下X的條件分佈函數，記爲
FX|Y(x|y)
可推出，在條件Y=y下X的條件概率密度，記作
fX|Y=(x|y) ,爲
fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y),fY(y)≠0
3.5 相互獨立的隨機變量
定義 7 設X,Y爲兩個隨機變量，若對任意實數x,y，有
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}
則稱X,Y相互獨立，簡稱獨立。
定理 1 設二維離散型隨機變量(X,Y)的分佈律及邊沿分佈律分別爲
pij,pi.,p.j,i,j=1,2,3,... 則X與Y相互獨立的充分必要條件是：對任意的i,j，有
pij=pi.p.j
定理 2 設二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度及邊沿概率密度分別爲
fX(x),fY(y) 則X與Y相互獨立的充分必要條件是：
f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)
獨立性概念可以推廣到有限個或可列個隨機變量的情形
定義 8 設X1,X2,...,Xn 爲n個隨機變量，若對任意實數x1,x2,...,xn ，恆有
F(x1,x2,...,xn)=FX1(x1)FX2(x2)...FXn(xn)
式中，
F(x1,x2,...,xn),FXi(xi),i=1,2,...,n 分別爲
X1,X2,...,Xn 的聯合分佈函數和邊沿分佈函數，則稱n個隨機變量
X1,X2,...,Xn 相互獨立。
定理 3 若
(X1,X2,...,Xn) 是n爲連續型隨機變量，則
X1,X2,...,Xn 相互獨立的充分必要條件是
f(x1,x2,...,xn)=fX1(x1)fX2(x2)...fXn(xn)
