《線性代數》——讀書筆記1

第一章 行列式

1.1 n階行列式

1.1.1 排列與逆序

定義 1.1.1 由自然數1,2,…,n組成的一個有序數組稱爲一個n階排列，記爲j1,j2...jn 。按數字的自然排序由小到大的n階排列123…n稱爲標準排列或自然排列。
定義 1.1.2 在一個排列中，若一個較大的數排在一個較小的數的前面，則稱這兩個數構成了一個逆序。一個排列中所有的逆序的總數稱爲這個排列的逆序數。用τ(j1,j2...jn) 表示排列j1,j2...jn 的逆序數，爲偶，即爲偶排列；爲奇則爲奇排列。
定義 1.1.3 把一個排列中某兩個數的位置互換，而其餘的數不動，就得到一個新的排列，這種變換稱爲排列的一個對換。
定理 1.1.1 一次對換改變排列奇偶性。
推論 任何一個n階排列都可以通過對換化成標準排列，並且所做對換的次數的奇偶性與該排列的奇偶性相同。

1.1.2 二階與三階行列式

D=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣

上式稱爲二階行列式。D中橫寫的稱爲行，豎寫的稱爲列。D中共有兩行兩列，其中數aij 稱爲行列式的元素，它的第一個下標i表示這個元素所在的行，稱爲行指標；第二個下標j表示這個元素所在的列，稱爲列指標。
把行列式中從左上角到右下角的連線稱爲主對角線，從右上角到左下角的連線稱爲副對角線。

1.1.3 n階行列式的定義

定義 1.1.4由n2 個元素排成n行、n列，以

∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣

記之，稱其爲n階行列式，它代表一個數值。此數值是取自上式中不同行、不同列的n個元素a1j1a2j2...anjn 乘積的代數和，其中j1j2...jn 是數字1,2,…,n的某一個排列，故共有n!項。每項當j1j2...jn 爲偶排列時取正號，當j1j2...jn 爲奇排列時取負號。

D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑j1j2...jn(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn

下三角型行列式的值等於主對角線上元素的乘積。

定理 1.1.2 n階行列式也可定義爲

D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑i1i2...in(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn

其中，∑i1i2...in 表示對1,2,…,n這n個數組成的所有排列i1i2...in 取和。

1.2 行列式的性質

性質 1 行列式與它的轉置行列式相等，即D=DT 。
——說明行列式中行與列的地位是等同的，凡是對行成立的性質，對列也同樣成立。
性質 2 如果行列式某一行（列）元素有公因數k，則k可以提到行列式符號外面。
推論如果行列式中某一行（列）元素全爲零，那麼行列式等於零
性質 3 如果行列式中的兩行（列）互換，那麼行列式只改變一個符號。
推論 1 若行列式中有兩行（列）相同，則行列式的值爲零。
推論 2 如果行列式中兩行（列）的對應元素成比例，那麼行列式的值爲零。
性質 4 （拆項性質）如果行列式某行（列）的個元素都可以寫成兩數之和，例如aij=bij+cij(j=1,2,...,n) ，則此行列式等於兩個行列式的和，即

∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1a12⋮bi2+ci2⋮an2………a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2………a1n⋮bin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ci1⋮an1a12⋮ci2⋮an2………a1n⋮cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣

性質 5 （倍加性質）如果將行列式中某行（列）的各元素同乘一數k後，加到另一行（列）的各對應元素上，則行列式的值不變。

在行列式D=|aij|n 中，若aij=aji(i,j=1,2,...,n) ，則稱D爲對稱行列式；若aij=−aji(i,j=1,2,...,n) ，則稱D爲反對稱行列式。

1.3 行列式的展開與計算

1.3.1 行列式按一行（或一列）展開

定義 1.3.1 在n階行列式D=|aij|n 中，劃掉元素aij 所在的第i行和第j列後，留下的元素按照原來的順序組成的n-1階行列式稱爲元素aij 的餘子式，記爲Mij 。稱

Aij=(−1)i+jMij

爲元素aij 的代數餘子式。
定理 1.3.1 n階行列式D=|aij|n 等於它的任意一行（列）的個元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2,...,n)

或

D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2,...,n)

定理 1.3.2 n階行列式D=|aij|n 中每一行（列）的各個元素與另一行（列）的對應元素的代數餘子式乘積之和等於0，即

ak1Ai1+ak2Ai2+...+aknAin=0(i≠k)a1kA1j+a2kA2j+...+ankAnj=0(j≠k)

遞推法 把行列式的計算化爲形式相同而階數較低的行列式的計算。另外還有數學歸納法（如證明範德蒙行列式）
範德蒙行列式：

Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋮an−111a2a22⋮an−12………⋱…1ana2n⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj)

1.3.2 拉普拉斯定理

定義 1.3.2 在n階行列式D中，任取k行、k列(1≤k≤n−1) ，由這些行和列交叉處的元素按照原來的相對位置所構成的k階行列式N，成爲D的一個k階子式。在行列式D中去掉k階子式N所在的行和列以後，剩下的元素按原來的順序構成的n-k階行列式M，成爲N的餘子式。若N所在的行序數爲i1,i2,...,ik ，所在的列序數爲j1,j2,...,jk ，則稱

A=(−1)i1+...+ik+j1+...+jkM

爲N的代數餘子式。
定理 1.3.3 在n階行列式D中任意選取k行（列）(1≤k≤n−1) ，則由這k個行（列）中的一切k階子式N1,N2,...,Nt 與它們所對應的代數餘子式A1,A2,...,At 乘積之和等於D，即

D=N1A1+N2A2+...+NtAt=∑i=1tNiAi

其中t=Ckn

1.4 克萊姆法則

定理 1.4.1（克萊姆法則）如果線性方程組的係數行列式D≠0 ，則方程組有唯一解，並且解可以用行列式表示爲

x1=D1D,x2=D2D,x3=D3D,...,xn=DnD

其中，Dj(j=1,2,...n)是把系數行列式D中第j列的元素用方程組的常數項代替後所得到的n階行列式 （該定理證明時的充分性和必要性不是很懂，總是認爲證明充分性沒有用=-=）
定義 1.4.1 當線性方程組有段的常數項b1,b2,...,bn 不全爲零時，稱爲非齊次線性方程組；當b1,b2,...,bn 全爲零時，稱爲齊次線性方程組。
定理 1.4.2若齊次線性方程組

∑j=1naijxj=0(i=1,2,...,n)

的係數行列式D≠0 ，則它只有唯一的零解。
推論 若齊次線性方程組有非零解，則係數行列式D=0。

1.5 數域

定義 1.5.1設P是有一些數組成的集合，包含0和1。如果P中任意兩個數的和、差、積、商仍在P中，那麼稱P是一個數域。
定理 1.5.1 設P爲任何一個數域，則Q⊆P .