【CF856D】Masha and Cactus-樹形DP+LCA+樹狀數組

測試地址：Masha and Cactus
題目大意： 給定一棵樹，再給定$m$條邊，每條邊有權值，從裏面選出一些邊加入樹中，使得形成的圖是仙人掌，即每個點至多處在一個環中的圖，並使得加入的邊的權值和最大，求出這個最大值。
做法： 本題需要用到樹形DP+LCA+樹狀數組。
首先轉化一下問題。不難想到，添加一條邊會使得樹上的一條路徑上的點被一個環覆蓋，那麼要使一個點至多在一個環中，也就是要求添加的邊所對應的路徑不相交。那麼問題就轉化爲，從$m$條路徑中選出若干不相交的路徑，使得它們的權值和最大。
不難想到用樹形DP選擇此題。令$f(v)$爲以$v$爲根子樹的答案，那麼$v$要麼不被覆蓋，這種情況答案就是它所有兒子的$f$值之和，要麼$v$就被某條路徑覆蓋，而因爲我們要算的是以$v$爲根子樹的答案，所以我們只需考慮LCA爲$v$的路徑即可。這樣的話每條路徑會在其兩個端點的LCA處被處理，直接在DP前預處理出來即可。在選擇了某一條路徑後，要使得答案最大，就是要求在子樹中把該路徑所有點刪掉，剩下的所有子樹都達到最大，也就是求子樹中和這條路徑直接相鄰的點的$f$值之和。
怎麼求這個東西呢？畫一畫圖可以觀察到，對路徑上每個點，我們把它所有兒子的$f$值之和累計，那麼最後多算出來的貢獻就是除了點$v$，其餘在路徑上的點的$f$值之和，我們把這個多算的部分減去就行了。再稍微調整一下式子，令$s(v)$爲點$v$所有兒子的$f$值之和，減去點$v$的$f$值，並令當前路徑爲$(x,y)$，那麼答案就可以表示爲，點$v$的所有兒子$f$值之和，加上$v$到$x$路徑上所有點的$s$值之和（不包括點$v$），再加上$v$到$y$路徑上所有點的$s$值之和（不包括點$v$）。這樣我們其實就是求這樣一個問題：每個點有點權，詢問這一點到某點$v$的路徑上的點權和。因爲DP的過程就是自下而上的，因此每當我們處理完一個點$v$，它的點權就會爲它子樹中所有點的貢獻增加$s(v)$，在DFS序上就是一個區間加、單點詢問的問題，顯然差分後用樹狀數組處理即可，那麼我們就解決了這一題，時間複雜度爲$O(n\log n)$。
以下是本人代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[200010][20]={0},dep[200010],first[200010]={0},tot=0;
int in[200010],out[200010],tim=0,a[200010],b[200010],val[200010];
int sum[200010]={0},f[200010];
vector<int> p[200010];
struct edge
{
	int v,next;
}e[200010];

void insert(int a,int b)
{
	e[++tot].v=b;
	e[tot].next=first[a];
	first[a]=tot;
}

void dfs(int v)
{
	in[v]=++tim;
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
	{
		dep[e[i].v]=dep[v]+1;
		dfs(e[i].v);
	}
	out[v]=tim;
}

int lca(int a,int b)
{
	if (dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if (dep[fa[a][i]]>=dep[b])
			a=fa[a][i];
	if (a==b) return a;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if (fa[a][i]!=fa[b][i])
			a=fa[a][i],b=fa[b][i];
	return fa[a][0];
}

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

void add(int x,int c)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		sum[i]+=c;
}

int calc_sum(int x)
{
	int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans+=sum[i];
	return ans;
}

void dp(int v)
{
	int downsum=0;
	for(int i=first[v];i;i=e[i].next)
	{
		dp(e[i].v);
		downsum+=f[e[i].v];
	}
	f[v]=downsum;
	for(int i=0;i<p[v].size();i++)
	{
		int x=a[p[v][i]],y=b[p[v][i]],V=val[p[v][i]];
		f[v]=max(f[v],downsum+calc_sum(in[x])+calc_sum(in[y])+V);
	}
	add(in[v],downsum-f[v]);
	add(out[v]+1,f[v]-downsum);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&fa[i][0]);
		insert(fa[i][0],i);
	}
	dep[0]=-1,dep[1]=0;
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=18;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&val[i]);
		p[lca(a[i],b[i])].push_back(i);
	}
	
	dp(1);
	printf("%d",f[1]);
	
	return 0;
}