HRBU-ACM 數論3 拓展歐幾里得

歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉相除法,用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本算法:設a=qb+r,其中a,b,q,r都是整數,則gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一種證明:

      a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b

  假設d是a,b的一個公約數,則有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公約數

  假設d 是(b,a mod b)的公約數,則

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公約數

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證

 

第二種證明:

    要證歐幾里德算法成立,即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思,r=a mod b
    下面證 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    設  c是a,b的最大公約數,即c=gcd(a,b),則有 a=mc,b=nc,其中m,n爲正整數,且m,n互爲質數
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整數,
    則 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互質(假設n,m-qn不互質,則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數,且d>1
                                                                則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc,與前提矛盾,
                                                                 所以n ,m-qn一定互質)
    則gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得證。

 

算法的實現:

最簡單的方法就是應用遞歸算法,代碼如下:

int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
      int r = b;
      b = a % b;
      a = r;
    }
    return a;
}

擴展歐幾里德算法

基本算法:對於不完全爲 0 的非負整數 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公約數,必然存在整數對 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

證明:設 a>b。

  1,顯然當 b=0,gcd(a,b)=a。此時 x=1,y=0;

  2,ab!=0 時

  設 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根據恆等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基於 x2,y2.

   上面的思想是以遞歸定義的,因爲 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0,所以遞歸可以結束。

 

擴展歐幾里德的遞歸代碼:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

擴展歐幾里德非遞歸代碼:

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=m%n;
    int q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}

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歐幾里德與擴展歐幾里德算法

歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉相除法,用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本算法:設a=qb+r,其中a,b,q,r都是整數,則gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一種證明:

      a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b

  假設d是a,b的一個公約數,則有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公約數

  假設d 是(b,a mod b)的公約數,則

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公約數

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證

 

第二種證明:

    要證歐幾里德算法成立,即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思,r=a mod b
    下面證 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    設  c是a,b的最大公約數,即c=gcd(a,b),則有 a=mc,b=nc,其中m,n爲正整數,且m,n互爲質數
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整數,
    則 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互質(假設n,m-qn不互質,則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數,且d>1
                                                                則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc,與前提矛盾,
                                                                 所以n ,m-qn一定互質)
    則gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得證。

 

算法的實現:

最簡單的方法就是應用遞歸算法,代碼如下:

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

代碼可優化如下:

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }

當然你也可以用迭代形式:

按 Ctrl+C 複製代碼

 

按 Ctrl+C 複製代碼

 

擴展歐幾里德算法

基本算法:對於不完全爲 0 的非負整數 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公約數,必然存在整數對 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

證明:設 a>b。

  1,顯然當 b=0,gcd(a,b)=a。此時 x=1,y=0;

  2,ab!=0 時

  設 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根據恆等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基於 x2,y2.

   上面的思想是以遞歸定義的,因爲 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0,所以遞歸可以結束。

 

擴展歐幾里德的遞歸代碼:

按 Ctrl+C 複製代碼

 

按 Ctrl+C 複製代碼

 擴展歐幾里德非遞歸代碼:

按 Ctrl+C 複製代碼

 

按 Ctrl+C 複製代碼

 

擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面:

(1)求解不定方程;

(2)求解模線性方程(線性同餘方程);

(3)求解模的逆元;

 

(1)使用擴展歐幾里德算法解決不定方程的辦法:

  對於不定整數方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解,否則不存在整數解。
  上面已經列出找一個整數解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足:
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t爲任意整數)
  至於pa+qb=c的整數解,只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後,應該是得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)),

  p * a+q * b = c的其他整數解滿足:

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t爲任意整數)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整數解。.

用擴展歐幾里得算法解不定方程ax+by=c;

代碼如下:

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    if(c%d)
        return false;
    int k=c/d;
    x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一組解
    return true;
}

(2)用擴展歐幾里德算法求解模線性方程的方法:

    同餘方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解,當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時,方程有 gcd(a,n) 個解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y爲整數)

    設 d= gcd(a,n),假如整數 x 和 y,滿足 d= ax+ ny(用擴展歐幾里德得出)。如果 d| b,則方程

    a* x0+ n* y0= d, 方程兩邊乘以 b/ d,(因爲 d|b,所以能夠整除),得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d,y= y0* b/ d 爲 ax+ ny= b 的一個解,所以 x= x0* b/ d 爲 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一個解爲 x0= x* (b/ d ) mod n,且方程的 d 個解分別爲 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    設ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整數解爲:(ans%s+s)%s;

    相關證明:

    證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由於 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由於 d | a)
                             = b

     

首先看一個簡單的例子:

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以發現一個規律,就是解的間隔是3.

那麼這個解的間隔是怎麼決定的呢?

如果可以設法找到第一個解,並且求出解之間的間隔,那麼就可以求出模的線性方程的解集了.

我們設解之間的間隔爲dx.

那麼有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

兩式相減,得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是說a*dx就是a的倍數,同時也是n的倍數,即a*dx是a 和 n的公倍數.爲了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.

設a 和 n的最大公約數爲d,那麼a 和 n 的最小公倍數爲(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之間的間隔就求出來了.

    代碼如下:

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,x0,i;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d)
        return false;
    x0=x*(b/d)%n;   //特解
    for(i=1;i<d;i++)
        printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
    return true;
}

(3)用歐幾里德算法求模的逆元:

       同餘方程ax≡b (mod n),如果 gcd(a,n)== 1,則方程只有唯一解。

      在這種情況下,如果 b== 1,同餘方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      這時稱求出的 x 爲 a 的對模 n 乘法的逆元。

      對於同餘方程 ax= 1(mod n ), gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1,x, y 爲整數。這個可用擴展歐幾里德算法求出,原同餘方程的唯一解就是用擴展歐幾里德算法得出的 x 

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