遞歸的邏輯(4)——遞歸與分形

　　《最強大腦》第四季的一期節目中，挑戰者餘彬晶挑戰的項目是“分形之美”。這是一個數學推理項目，章子怡女神和不懂球的胖子都一臉迷茫。

分形的概念

　　分形（Fractal）一詞，是曼德布羅特創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態爲研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱爲描述大自然的幾何學。

　　分形通常被定義爲“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀，即具有自相似的性質。”

　　分形圖無處不在，綿延的海岸線，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的，但是從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似；一顆參天大樹，它的每一片葉子和枝幹，都和主枝顯現出了高度的相似性；一片雪花的每片花瓣都在放大後都顯出了原圖案驚人的相似性。

　　既然分形圖的每一部分都是整體的縮小，那麼很自然地會聯想到自身調用自身的程序。我們嘗試用遞歸去繪製一顆分形樹，下圖是繪製的目標：

極座標系下的向量旋轉

　　雖然繪製的目標是二維圖形，但是比起刻度尺來，樹的座標關係要複雜的多，繼續在直角座標系下處理就顯得有點笨拙了，此時不妨試試極座標。

　　極座標用向量的長度和角度來表示座標中的點，一個典型的極座標如下：

　　r是向量的長度，φ是向量與x軸逆時針方向的夾角，點t可以用(r,φ)來表示。可以看出，極座標系仍未脫離原來的直角座標系，僅僅是將直角座標系上的點換了一種表示法，如果將點t 轉換成直角座標系的表示法，那麼：

　　這也是極座標到直角座標的轉換公式。

　　接下來將向量逆時針旋轉θ，得到新的t’點：

　　t’點的座標：

　　樹的主幹垂直於x軸，簡單起見，可以讓它附着在y軸上，這相當於φ等於90°：

　　接下來，把一個稍短的向量r’向左旋轉θ角得到點B，向右旋轉-θ角得到點C：

　　如此一來可以得到B和C的座標：

　　作爲樹的枝幹，還需要將兩個新向量上移，讓它們以A爲起點：

　　現在得到了樹的兩個枝幹以及枝幹端點的座標：

　　繼續按照上述方法進行下去將會得到更多的枝幹：

編寫代碼

　　知道原理後就可以編寫相關代碼：

 1 class Fractal:
 2     def __init__(self, fai, theta, depth):
 3         '''
 4             分形圖的基礎形狀
 5             Attributes：
 6                 fai：        向量的初始角度
 7                 theta：      向量每次逆時針旋轉的角
 8                 depth：      樹的深度， 當depth == 0時停止分形
 9         '''
10         self.fai = fai
11         self.theta = theta
12         self.depth = depth
13
14     def draw(self, ax):
15         def draw_line(x1, y1, fai, depth, ax):
16             if depth == 0:
17                 return
18             # 由於np.cos和np.sin使用的參數是弧度，所以需要先把角度轉換成弧度
19             radian = np.radians(fai)
20             # 旋轉後的座標
21             x2 = x1 + np.cos(radian) * depth
22             y2 = y1 + np.sin(radian) * depth
23             ax.plot([x1, x2], [y1, y2], color='g')
24             draw_line(x2, y2, fai + self.theta, depth - 1, ax)
25             draw_line(x2, y2, fai - self.theta, depth - 1, ax)
26         draw_line(0, 0, self.fai, self.depth, ax)
27
28 if __name__ == '__main__':
29     fig, ax = plt.subplots()
30     plt.axis('off')
31     plt.axis('equal')
32     fractal = Fractal(90, 30, 8)
33     fractal.draw(ax)
34     plt.show()

　　我們用數的深度表示向量的長度，每一層枝幹的長度都比上一層少1，直到深度是0爲止。每一層枝幹都是由上一層枝幹的終點座標、偏斜角和枝幹長度決定的。fai的初始值是90°，用draw_line(0, 0, 90, depth)來畫樹的主幹，這樣才能保證主幹是附着在y軸上，主幹的終點座標：

弧度和角度的轉換公式是1rad=180°/π，π是無限不循環小散，因此python中這個轉換是不精確的。如果直接運行np.cos(np.radians(90))，不會得到0，而是得到6.123233995736766e-17，這是一個相當小的數，可以當作0處理。

　　運行結果如下：

　　可以通過改變初始深度來觀察樹的分型過程：

if __name__ == '__main__':
    # 觀察分形過程
    fig = plt.figure()
    for i in range(1, 9):
        ax = fig.add_subplot(3, 3, i)
        fractal = Fractal(90, 30, i)
        plt.axis('off')
        plt.axis('equal')
        plt.title('depth=' + str(i))
        fractal.draw(ax)
    plt.show()