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我買雙色球已經好多年了，一直相信“只要集齊七個球，就能大富大貴”，但這麼多年過去了，願望依舊沒有達成。最近一期的雙球又一次白白捐獻了2塊錢。長期來看，到底是賠錢還賺錢？如果有一天賺錢了，能否抵得過我的投入？
雙色球由紅球和藍球兩部份組成，紅球是由01到33個號碼中選擇，藍球是由01到16個號碼中選擇。每次開獎在紅色球中隨機搖出六個紅號,在藍球中隨機搖出一個藍號，下面是中獎條件和獎金：
直觀上，中5塊看起來比較容易，只要藍色球號猜中就行，但實際上概率僅有6.25%，至於一等獎就更困難了。
中獎的概率
先來複習一下不放回抽樣。
引例：設一批產品共有N個，其中有M個次品。每次從這批產品中隨機地抽出一件來檢查，檢查後不放回，共取n次(相當於一次同時取n件產品)，試求在n次檢查中有k次是次品的概率Pk。
從N件產品中抽取n件共有
現在來看雙色球的中獎概率。
對於紅球來說，開獎號碼是排序的，既然中獎的規則只和彩票中是否有開獎號碼有關，與彩票上的號碼順序無關，那麼我們不妨讓出票智能一點，打印出的彩票上的紅球也是排好序的，這樣一來，問題就轉換成了和引例一樣的不放回抽樣：
接下來只要把相應的k代入①中即可，當然，還要乘以藍球的相應概率：
大富大貴的概率約爲0.0000056%，1700萬分之一，500萬。
二等獎是猜中6個紅球，並且猜錯藍球：
二等獎的概率大約爲0.0000846%，100萬分之一，約20~35萬。
三等獎是猜中5個紅球和1和藍球，K=5：
大約0.000914%的概率中三等獎，11萬分之一，獎金是固定的，3000元。
類似地，可以算出四等獎和五等獎的中獎概率。
四等獎大約0.0434%，2300分之一，200元。
五等獎大約0.7758%，129分之一，10元。
六等獎1/16，5.889%，5元。
2019年江蘇省高考報名合計48.4萬人，考上清華北大的有151人，相當於在一萬人中排名前三，3333人中排名第一才能考上清華北大，只比中200元的概率略高，比中3000元的概率高出10倍。有趣的是，絕大多數人都相信自己能人品爆發，中個大獎，再不濟也能中幾個3000元，卻不相信自己能考上清華北大。當然，這種想法是有理由的，買彩票可以簡單的憑概率計算，而高考除了運氣外，天賦和努力程度纔是決定性因素。
不管怎麼說，數量龐大的彩民們勇往直前地奔着大獎而去，這其中的付出和收益又有着怎樣的關係？
期望收益
雙色球的概率告訴了我們中獎的可能性的大小，但是我更關注的是長期預測結果。雖然偶爾中個5塊10塊，但大多數時候都是顆粒無收，我想知道，在我有生之年中得的錢是否能夠填平賠掉的錢？
概率問題總是很關心分佈，我們已經有了各等獎的概率分佈：
但是從上面的離散分佈中看不出收益，於是我們對其進行改進，用隨機變量X表示每注彩票的收益：
爲了簡單起見，二等獎按照30W獎金計算。每注彩票2元，如果中了六等獎，則收益是5-2=3元，也就是賺了3元；如果未中獎則相當於賠了2元。
爲了計算長期收益，可以先計算出每注彩票的期望收益：
這對於像我這種天天想着中大獎的人來說可不是個好結果，每注彩票居然期望賠掉將0.98元！這當然不是我的期望，而是在統計學上的期望。
收益的變化幅度
每注彩票期望賠掉0.98元，我每年買365張，10年下來，居然告訴我期望賠掉，0.98×365×10=3577元！回想一下這些年的經歷，除了偶爾中個5塊10塊之外，似乎只有一次中了200，當時被勝利衝昏了頭腦，花了500多元和好友大吃了一頓，這麼算來，賠掉的可不只3577元。
賠掉0.98元只是每注彩票的平均收益，但實際上每一次開獎都存在收益的變化，否則每次都賠錢的話還有誰會買彩票呢？
我們在前面的章節介紹過方差，作爲衡量實際問題的數字特徵，方差代表了問題的波動性。雙色球收益的方差和標準差：
這裏μ代表X的期望值。方差越小，結果的可預測性越高，每注彩票的平均收益越接近期望值。雙色球的方差已經超過147萬，這是個很大的波動，說明整體收益不可預期。標準差指明瞭每注彩票不可預測的收益與期望收益的平均距離。
從期望值上看，長期購買彩票是一種賠錢行爲，但方差又告訴我們，一旦中了一等獎或二等獎，那麼所有賠的錢都不算個事。
隨機變量的線性變換
近幾年物價飛漲，看起來雙色球還是比較有良心的，一直保持2元不變。但反過來看，2019年南京的房價已經超過每平米3.2W，500W扣掉稅之後也就勉強在南京這種新一線城市買個小戶型。
雙色球漲價了
現在雙色球漲價了，4元一注，按照有關部門的一貫作風，中獎金額只提高了1.5倍，現在有了新的收益分佈：
收益和投入資金都與原來存在線性關係，因此我們不想傻乎乎的根據期望值的公式去計算新收益的期望值。
隨機變量Y是新收益，X是原收益，我們可以得到下面的關係：
這就把X和Y聯繫到了一起，由此計算漲價後的期望收益：
這下賠的更多了。如果接着買的話，未來十年的期望收益是 -2.47×356×10 = -9015.1元，想想經常尋找免費停車位的場景，9015.1元可不算小錢。
再來看方差，根據方差性質：
漲價後，每注彩票的收益更加不可預測，賠的和賺的都可能更多。
如果增加投入
還是按2元一注計算，如果我每天買10注怎麼樣？會不會更可能贏錢？
這就要看怎麼買10注了。一種是買10注不同的，另一種是全壓在相同的號碼上。
先來看第一種。10注不同的號碼最多隻可能中一注，中獎概率提高到原來的10倍，每一次中獎收益也隨之變化：
雖然隨機變量U和X是線性關係，但是P(U=u)和P(X=x)不是線性的，其原因是二者未中獎的概率不相等，因此在求得新的期望收益時不能借助E[X]，只能重新計算：
期望收益和方差都變成了原來的10倍，這意味着從長期來看賠的更多，同時結果也更加不可預測。
再來看另一種，全壓在相同的號碼上。這裏簡單一點，把獎金簡單地翻倍：
概率質量和單買一注是一致的，每一等獎項（包括未中獎）的收益都是原來的10倍，方差是100倍：
如此下注，雖然長期來看賠的更多，但是一旦中了500W就基本可以提前退休了。
出處：微信公衆號 "我是8位的"
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