近日以來，由於學習圖像處理，感覺其對傅里葉變換等內容要求較高，故重整旗鼓又過了一遍信號系統等章節，做了不少實驗，有所感悟，特記錄下，以便備忘！
首先，對於傅里葉變換，最爲需要理解的便是傅里葉級數，個人感覺這個是後邊最爲基礎也是最爲重要的部分，對於連續傅里葉級數有：
離散時間傅里葉級數有：
從傅里葉級數的定義可以很明顯看出，對於一個週期信號，其可以用以一系列的復正弦信號來合成，這一系列信號成諧波關係，另外也可發現對於連續時間信號的合成，需要復正弦信號的“個數”是無窮的，而離散時間信號，需要復正弦信號的“個數”是有限的，爲N個，即週期數量多個，這個的原因是由連續和離散信號的特性決定（離散時間復正弦信號週期爲2pi）。
對於傅里葉變換，其本身看做傅里葉級數的推廣（週期爲無限長），
連續時間傅里葉變換（FT）：
離散時間傅里葉變換（DTFT）：
在許多書上，離散時間傅里葉變換都是由是連續信號採樣得到的離散信號而得到，這樣來介紹，由於有采樣頻率等的影響，這樣會對連續，離散信號產生一定的混淆，個人認爲，離散傅里葉變換時離散時間信號的頻域特性，並不一定非得和採樣，連續信號等產生關係，離散信號可以是由連續信號採樣，歸一化產生，也可以是其本身就是離散的，如年月日，像素座標等，如果離散信號是由連續信號採樣得到的，那麼，當用給定的採樣頻率，對連續信號採樣，歸一化後，那麼就產生了一個新的離散信號，至於其傅里葉變換和原來的傅里葉變換有何關係，這就是另外一個話題了。
傅里葉變換的核心思想便是能讓任意一個信號都可以由一種基本信號來合成，這個基本信號對於
連續時間信號便是:exp(jwt)，
離散時間信號便是:exp(jwn)。
對於DTFT的定義式，可以發現其積分是由-pi到pi，而對於FT的定義式，積分是從-無窮到+無窮，其根本原因就是，基本信號存在差異，對於exp(jwt)，其不存在週期，當w取任意值，exp(jwt)都會變爲一個獨一無二的信號，故FT需要從-無窮積分到+無窮，讓每一個exp(jwt)都能成爲被合成信號的成分（當然這還得取決於前面係數，即傅里葉係數），而對於DTFT而言，由於其基本信號exp(jwn)週期爲2pi，故當要合成新信號時，只需要取任何一個2pi區段就可獲得合成信號的所有成分，故上式取-pi到pi即可，當然，這樣也很容易得出F(exp(jw))也是週期的。
關於離散傅里葉變換（DFT），其定義爲：
可以發現，DFT與離散傅里葉級數（DFS）僅有一點點區別，那就是DFT在逆變換時，即在合成源信號時，會乘上1/N，而DFS相反，除開這一點並無區別，所以這就表示是，DFT實際上是，以信號的N點爲週期的信號的離散傅里葉級數，那麼DFT和DTFT是什麼關係呢？從上述角度上來講，只能說當DFT所取點數趨於無窮時，那麼DFT就可以趨近於DTFT，這也是傅里葉變換的來源，那麼書上不是有DFT是DTFT的採樣的結論麼？該結論是怎樣來的？有條件麼？
對於上述問題，在圖中做了解答，可以發現，只有對於長度爲N的有限序列，其取不少於N個點的DFT纔是對DTFT的採樣，這是由於其序列有限又能有這個結果，個人認爲，這也解答了爲何DFS與DFT有個係數上的差異，這就是爲了在DTFT與DFT的滿足採樣特點的吻合。另外附上利用DFT模擬DTFT的幾張示意圖：
圖爲序列[1,2,3,4]的各點的dft圖
第一幅圖取了10000個點，可近似看做dtft，
第二幅圖僅僅取了2點，很明顯與第一幅圖對比，這個並不包含所有信息，故此幅圖僅代表[1,2]的兩點DFT，
第三幅圖取了4點，與第一幅圖對比，這個包含所有信息，相當與在dtft中採樣出exp(2pi/4)*[0,1,2,3]的值，
第四幅圖顯然就比較接近與第一幅圖了。