實現斐波拉契數列：1,1,2,3,5,8...，當n>=3時，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
解：求解斐波拉契數列方法很多，這裏提供了4種實現方法和代碼，由於第5種數學公式方法代碼太過繁瑣，只做簡單介紹
方法一：遞歸調用,每次遞歸的時候有大量重複計算，效率低，可將其調用的過程轉化成一顆二叉樹進行分析，二叉樹的總結點個數不超過(2^n-1)個，由於其是不完全二叉樹，那麼函數計算的次數必小於(2^n-1)，時間複雜度爲O(2^n)；遞歸調用的深度爲n,空間複雜度爲O(n)
方法二：非遞歸數組方式,循環中仍然有重複計算，時間複雜度爲O(n)，空間複雜度爲O(1)
方法三：非遞歸循環方式，將前兩項的計算結果保存起來，無重複計算，時間複雜度爲O(n)，空間複雜度爲O(1)
方法四：直接利用數學公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)，時間複雜度爲O(1)，空間複雜度爲O(1)
實現代碼如下：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
//方法一：遞歸調用,有大量重複計算，效率低
long long Fibonacci1(int n)
{
return (n < 2) ? n : Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);
}
//方法二：非遞歸數組方式,循環中仍然有重複計算
long long Fibonacci2(int n)
{
long long *fibArray = new long long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
long long ret = fibArray[n];
delete[] fibArray;
return ret;
}
//方法三：非遞歸循環方式，將前兩項的計算結果保存起來，無重複計算
long long Fibonacci3(int n)
{
long long fibArray[3] = { 0, 1, n };//給fibArray數組賦初值
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
fibArray[2] = fibArray[1] + fibArray[0];
fibArray[0] = fibArray[1];
fibArray[1] = fibArray[2];
}
return fibArray[2];
}
//方法四：直接利用數學公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)
long long Fibonacci4(int n)
{
return (pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, n) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n)) / sqrt(5.0);
}
//測試代碼
int main()
{
int num = 0;
int ret = 0;
cout << "請輸入斐波拉契數列的序號:";
cin >> num;
ret = Fibonacci1(num);
/*ret = Fibonacci2(num);*/
/*ret = Fibonacci3(num);*/
/*ret = Fibonacci4(num);*/
cout << ret << endl;
system("pause");
return 0;
}
方法5：生僻的數學公式法
f(n) f(n-1) 1 1
[ ] = [ ]^(n-1)
f(n-1) f(n-2) 1 0
該公式可用數學歸納法進行證明，在矩陣乘法的變換證明過程中，要注意運用斐波拉契數列的性質：後一項爲前面兩項之和；該數學公式，應用矩陣的乘法，時間複雜度僅爲O(log n),時間效率雖然低，但不夠實用，源碼太過繁瑣，參考劍指0ffer面試題9的源碼