FFT（FastFourier Transform，快速傅立葉變換）是離散傅立葉變換的快速算法，也是我們在數字信號處理技術中經常會提到的一個概念。在大學的理工科課程中，在完成高等數學的課程後，數字信號處理一般會作爲通信電子類專業的專業基礎課程進行學習，原因是其中涉及了大量的高等數學的理論推導，同時又是各類應用技術的理論基礎。
關於傅立葉變換的經典著作和文章非常多，但是看到滿篇的複雜公式推導和羅列，我們還是很難從直觀上去理解這一複雜的概念，我想對於普通的測試工程師來說，掌握FFT的概念首先應該搞清楚這樣幾個問題：(1) 爲什麼需要FFT (2) 變換究竟是如何進行的 (3) 變換前後信號有何種對應關係(4) 在使用測試工具（示波器或者其它軟件平臺）進行FFT的方法和需要注意的問題 (5) 力科示波器與泰克示波器的FFT計算方法的比較。
在這篇文章中我嘗試用更加淺顯的講解，儘量不使用公式推導來說一說FFT的那些事兒。
一, 爲什麼需要FFT？
首先FFT(快速傅立葉變換)是離散傅立葉變換的快速算法，那麼說到FFT，我們自然要先講清楚傅立葉.Fourier對熱傳遞很感興趣，於1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分佈，論文裏有個在當時頗具爭議性的命題：任何連續週期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimon de
Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其他審查者投票通過並要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間裏，拉格朗日堅持認爲傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服於拉格朗日的權威，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破崙遠征埃及，法國大革命後因爲怕被推上斷頭臺而一直在逃難。直到拉格朗日死後15年這個論文才被發表出來。
誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅立葉是對的。
爲什麼我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是爲了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因爲正餘弦擁有其他信號所不具備的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們纔不用方波或三角波來表示。
傅立葉變換的物理意義在哪裏？
傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示爲不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。當然這是從數學的角度去看傅立葉變換。
那麼從物理的角度去看待傅立葉變換，它其實是幫助我們改變傳統的時間域分析信號的方法轉到從頻率域分析問題的思維，下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉換：
所以，最前面的時域信號在經過傅立葉變換的分解之後，變爲了不同正弦波信號的疊加，我們再去分析這些正弦波的頻率，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
傅立葉變換提供給我們這種換一個角度看問題的工具，看問題的角度不同了，問題也許就迎刃而解！
二、變換是如何進行的？
首先，按照被變換的輸入信號類型不同，傅立葉變換可以分爲 4種類型：
1、 非週期性連續信號傅立葉變換（Fourier Transform）
2、 週期性連續信號傅立葉級數(Fourier Series)
3、 非週期性離散信號離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4、 週期性離散信號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)
下面是四種原信號圖例：
這裏我們要討論是離散信號，對於連續信號我們不作討論，因爲計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。所以對於離散信號的變換隻有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對於計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對於其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，我們要討論的FFT也只不過是DFT的一種快速的算法。
DFT的運算過程是這樣的：
其中，
X(k)—頻域值
X(n)—時域採樣點
n—時域採樣點的序列索引
k—頻域值的索引
N—進行轉換的採樣點數量
可見，在計算機或者示波器上進行的DFT，使用的輸入值是數字示波器經過ADC後採集到的採樣值，也就是時域的信號值，輸入採樣點的數量決定了轉換的計算規模。變換後的頻譜輸出包含同樣數量的採樣點，但是其中有一半的值是冗餘的，通常不會顯示在頻譜中，所以真正有用的信息是N/2+1個點。
FFT的過程大大簡化了在計算機中進行DFT的過程，簡單來說，如果原來計算DFT的複雜度是N2次運算（N代表輸入採樣點的數量），進行FFT的運算複雜度是Nlg10（N），因此，計算一個1,000採樣點的DFT，使用FFT算法只需要計算3,000次，而常規的DFT算法需要計算1,000,000次！
我們以一個4個點的DFT變換爲例來簡單說明FFT是怎樣實現快速算法的：
計算得出：
其中的紅色部分在FFT中是必須計算的分量，其他藍色部分不需要直接計算，可以由紅色的分量直接推導得到，比如：
x(1)e-j0 = -1*x(1)e-jπ
x(2)e-j0 = x(2)e-j2π
… …
這樣，已經計算出的紅色分量只需要計算機將結果保存下來用於之後計算時調用即可，因此大大減少了DFT的計算量。
三、 變換前後信號有何種對應關係？
我們以一個實際的信號爲例來說明：
示波器採樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。
假設採樣頻率爲Fs，信號頻率F，採樣點數爲N。那麼FFT之後結果就是一個爲N點的複數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼關係呢？假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裏是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率爲爲Fs/N，如果採樣頻率Fs爲1024Hz，採樣點數爲1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析精確到1Hz，如果採樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率分辨率，則必須增加採樣點數，也即採樣時間。頻率分辨率和採樣時間是倒數關係。
下面這幅圖更能夠清晰地表示這種對應關係：
變換之後的頻譜的寬度（Frequency Span）與原始信號也存在一定的對應關係。根據Nyquist採樣定理，FFT之後的頻譜寬度（Frequency Span）最大隻能是原始信號採樣率的1/2，如果原始信號採樣率是4GS/s，那麼FFT之後的頻寬最多隻能是2GHz。時域信號採樣週期（Sample Period）的倒數，即採樣率（Sample Rate）乘上一個固定的係數即是變換之後頻譜的寬度，即 Frequency Span = K*（1/ΔT），其中ΔT爲採樣週期，K值取決於我們在進行FFT之前是否對原始信號進行降採樣（抽點），因爲這樣可以降低FFT的運算量。如下圖所示：
可見，更高的頻譜分辨率要求有更長的採樣時間，更寬的頻譜分佈需要提高對於原始信號的採樣率，當然我們希望頻譜更寬，分辨率更精確，那麼示波器的長存儲就是必要的！它能提供您在高採樣率下采集更長時間信號的能力！值得強調的是,力科示波器可以支持計算128Mpts的FFT,而其它某品牌則只有3.2Mpts。
四、 在使用測試工具（示波器或者其它軟件平臺）進行FFT的方法和需要注意的問題？
我們先來看一個簡單的例子---
Problem：在示波器上採集一個連續的，週期性的信號，我們希望在示波器上進行FFT計算之後，觀察到信號中心頻率（Center Frequency）在2.48GHz，頻寬（Frequency Span）爲5MHz，頻譜分辨率（Bandwidth Resolution）爲10KHz的頻譜圖，應該如何設置示波器的採集？
首先，根據頻譜分辨率（Bandwidth Resolution）10KHz可以推算出，至少需要採集信號的時間長度爲 1/10KHz=100us，因此至少要設置示波器時基爲10us/Div；爲了儘量保證FFT之後頻譜圖在各個頻點的信號能量精度，測量時需要時域信號幅值佔滿整個柵格的90%以上；採樣率設置應至少滿足Nyquist採樣率，即至少設置 >5GS/s採樣率才能夠看到中心頻率在2.48GHz的頻率譜線；選擇合適的窗函數（Von Hann漢寧窗）和頻譜顯示方式（power spectrum）；使用Zoom工具，將頻譜移動到Center
2.48GHz，Scale 500KHz/Div 位置，Zoom設置方法如下圖所示：
在力科示波器中進行FFT的運算有幾種不同的輸出類型：
Linear Magnitude(Volts),
Phase(Degrees),
Power Spectrum(dBm),
Power Spectral Density(dBm)
這幾種輸出類型都是由FFT計算之後的結果換算而來，我們知道FFT計算之後的結果包含實部（Real）和虛部（Imaginary）成分，它們的單位都是Volts。
具體的換算方式如下：
Linear Magnitude(Volts)=
Phase(Degrees)=
Power Spectrum(dBm)=
Power Spectral Density(dBm)= ，其中
爲頻譜分辨率，ENBW爲與所選加權函數（窗）相關的有效噪聲帶寬。
幾種典型周期函數的頻譜圖：
頻譜泄露：
所謂頻譜泄露，就是信號頻譜中各譜線之間相互干擾，使測量的結果偏離實際值，同時在真實譜線的兩側的其它頻率點上出現一些幅值較小的假譜。產生頻譜泄露的主要原因是採樣頻率和原始信號頻率不同步，造成周期的採樣信號的相位在始端和終端不連續。簡單來說就是因爲計算機的FFT運算能力有限，只能處理有限點數的FFT，所以在截取時域的週期信號時，沒有能夠截取整數倍的週期。信號分析時不可能取無限大的樣本。只要有截斷不同步就會有泄露。如下圖所示：
圖中被測信號的開始端相位和截止端相位相同，表示在採集時間內有整數倍週期的信號被採集到，所以此時經行FFT運算後得出的頻譜不會出現泄露。
上圖的信號頻率爲2.1MHz，採集時間內沒有截取整數倍週期的信號，FFT運算之後譜線的泄露現象嚴重，可以看到能量較低的譜線很容易被臨近的能量較高的譜線的泄露給淹沒住。
因此，避免頻譜泄露的方法除了儘量使採集速率與信號頻率同步之外，還可以採用適當的窗函數。
另外一個方法是採集信號時間足夠長，基本上可以覆蓋到整個有效信號的時間跨度。這種方法經常在瞬態捕捉中被使用到，比如說衝擊試驗，如果捕捉的時間夠長，捕捉到的信號可以一直包括了振動衰減爲零的時刻。在這種情況下，可以不加窗函數。
窗函數其實就是一個加權函數，它在截取的信號時間段內有值，時間段之外值爲0:，記爲：
w(t)=g(t) -T/2<t<T/2
w(t)=0 其它
加窗在時域上表現的是點乘，因此在頻域上則表現爲卷積。卷積可以被看成是一個平滑的過程。這個平滑過程可以被看出是由一組具有特定函數形狀的濾波器，因此，原始信號中在某一頻率點上的能量會結合濾波器的形狀表現出來，從而減小泄漏。基於這個原理，人們通常在時域上直接加窗。
大多數的信號分析儀一般使用矩形窗（rectangular），漢寧（hann），flattop和其它的一些窗函數。
不同的窗函數對頻譜譜線的影響不同，基本形狀可以參看下圖：
可以看到，不同的窗函數的主瓣寬度和旁瓣的衰減速度都不一樣，所以對於不同信號的頻譜應該使用適當的窗函數進行處理。
矩形窗(Rectangular)：加矩形窗等於不加窗，因爲在截取時域信號時本身就是採用矩形截取，所以矩形窗適用於瞬態變化的信號，只要採集的時間足夠長，信號寬度基本可以覆蓋整個有效的瞬態部分。
漢寧窗(Von Hann)：如果測試信號有多個頻率分量，頻譜表現的十分複雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個主瓣夠窄的窗函數，漢寧窗是一個很好的選擇。
flattop窗：如果測試的目的更多的關注某週期信號頻率點的能量值，比如，更關心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms，那麼其幅度的準確性則更加的重要，可以選擇一個主瓣稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經常被使用。
五、力科示波器與泰克示波器的FFT計算方法的比較
您可能也已經發現了這個問題：在示波器上進行FFT運算時，使用力科示波器和使用Tek示波器的計算結果似乎相差很大。產生這種差別的原因一方面可能是兩者有效運算的採樣點不一樣。另外一個重要原因是LeCroy和Tek所使用的FFT運算的參考值不同，LeCroy使用dBm爲單位（參考值是1mW的功率值），而Tek使用dB爲單位（參考值是1Vrms的電壓值），參考值不同產生的計算結果當然不一樣！
dB(Deci-bel，分貝) 是一個純計數單位，本意是表示兩個量的比值大小，沒有單位。在工程應用中經常看到貌似不同的定義方式（僅僅是看上去不同）。對於功率，dB = 10*lg(A/B)。對於電壓或電流，dB = 20*lg(A/B)。此處A，B代表參與比較的功率值或者電流、電壓值。 dB的意義其實再簡單不過了，就是把一個很大（後面跟一長串0的）或者很小（前面有一長串0的）的數比較簡短地表示出來。
dBm是一個考徵功率絕對值的值，計算公式爲：10lg（功率值/1mw）。
此外，還有dBV、dBuV、dBW等等，僅僅是參考值選擇的不同而已。
這裏推薦一個工具網站，可以在不同的比較值之間進行轉換：
http://www.giangrandi.ch/electronics/anttool/decibel.html
如下是一個實測的例子，使用同一信號分別用LeCroy和Tek示波器進行FFT運算
使用LeCroy WaveRunner 64Xi的測試結果
使用Tek DPO4104的測試結果
所使用的信號幅值是 6.55 mV rms , 信號頻率是 25 MHz
力科使用的計算方式如下：
dBm= 10 Log10 (((vrms^2)/50)/0.001)= 10Log10 ((4.29E-5/50)/0.001)=10Log10(8.5E-7/0.001)=10Log10 (8.5e-4)=10 (-3.066)= -30.66dBm
Tek使用的計算方式如下：
dB= 20Lg (6.61E-3)= 10(-4.3596)=-43.59
換算關係如下：
|
不僅僅只是FFT計算方式的差別，我們以力科的WaveMaster 8Zi-A和Tek的DPO70000系列爲例，在WaveMaster上您可以做最多128M個採樣點的FFT運算，而在DPO70000上只能做3.2M個點的FFT運算，所以，這種差別纔是本質上的！ |
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。
雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是卻不知道FFT之後的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。
現在我就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC採樣之後，就變成了數字信號。採樣定理告訴我們，採樣頻率要大於信號最高頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。
採樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。爲了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方（參見FFT原理）。FFT運算量：Nlog2N（2爲對數的底）。
假設採樣頻率爲Fs，信號頻率F，採樣點數爲N。那麼FFT之後結果就是一個爲N點的複數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼關係呢？假設原始信號的峯值爲A，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最後一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這裏是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率F0=Fs/N。假設頻率分辨率F0=Fs/N限定,採樣頻率Fs也給定，也已知信號最高頻率Fh，那麼由採樣定理：Fs》=2Fh得到：N=Fs/F0>=2Fh/F0,即採樣點必須滿足這樣一個關係式。
如果採樣頻率Fs爲1024Hz，採樣點數爲1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果採樣2秒時間的信號並做FFT，相應的採樣點也爲原來2倍，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加採樣點數，也即延長採樣時間，所以頻率分辨率和採樣時間是倒數關係，就是說，要想分辨出頻率間隔越小的頻率（頻率分辨率越高），採樣時間越長越好。
假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式爲：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即爲A1/N。
由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於採樣頻率一半的結果。
好了，說了半天，看着公式也暈，下面以一個實際的信號來做說明。
假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率爲50Hz、相位爲-30度、幅度爲3V的交流信號，以及一個頻率爲75Hz、相位爲90度、幅度爲1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos參數爲弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的採樣率對這個信號進行採樣，總共採樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、
第76個點上出現峯值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。
圖1 FFT結果
從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點：-6.2076E-13- 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13-1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認爲是0，即在那些頻率點上的信號幅度爲0。接着，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，
結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分量爲：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度爲：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度爲192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
然後再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算爲角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。
總結：假設採樣頻率爲Fs，採樣點數爲N，做FFT之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率爲：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標爲(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要採樣長度爲1/x秒的信號，並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加採樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是採樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度
達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。
[附錄：本測試數據使用的matlab程序]
close all; %先關閉所有圖片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %頻率F1信號的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
F1=50; %信號1頻率(Hz)
F2=75; %信號2頻率(Hz)
Fs=256; %採樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號1相位(度)
P2=90; %信號相位(度)
N=256; %採樣點數
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採樣時刻
%信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%顯示原始信號
plot(S);
title('原始信號');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算後的FFT模值結果
title('幅度-頻率曲線圖');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算爲角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖
title('相位-頻率曲線圖');