LIS 最長遞增子序列

前言

LIS 即 longest increasing string，最長遞增子序列，可以是不連續的。例如 2 3 5 2 3 4 5 的最長遞增子序列爲{2,3,4,5}，長度爲4.
兩種方法可以求出，一種O(n^2)的動態規劃算法，一種是O(nlogn)的二分查找算法。

動態規劃算法

• 具體思路 ： 設置一個dp[i]，代表以a[i]爲末位的最長遞增子序列的長度。其狀態轉換方程爲 dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1) | a[j]<a[i]
• 核心代碼：

    fori(i, 0, n){
        dp[i] = 1;
        forj(j, 0, i){
            if (a[j]<a[i] && dp[i]<dp[j]+1) {
                dp[i] = dp[j]+1;
            }
        }
    }

不難理解，遞推出以i爲結尾的LIS長度，最後dp數組裏最大的即a數組LIS的長度。
舉例說明：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
a[i]	2	3	4	2	3	4	5	6

當 i = 5 時
j = 0 ,a[j] < a[i], dp[i] = max(1,1+1) = 2;
j = 1 , a[j]<a[i], dp[i]=max(2,2+1) =3;
j = 2 ，a[j] = a[i]
j = 3 ，a[j]<a[i], dp[i] = max(3,1+1) = 3;
j = 4 , a[j]<a[i], dp[i] = max(3,2+1) = 3;
通過這一個例子，大家可以看出，這是一個暴力求出以i爲結尾的LIS長度的算法。

O(nlgn)算法

• 具體思路 ： 以上的算法可以看出，每次確定以i爲末尾的LIS時，都是 j 遍歷一遍 0-i，而這個遍歷是O(n)的，所以可以用二分查找的方法簡化成 lgn的複雜度。
  設定一個數組，每次讀取一個a[i]都與數組的末尾一個數top比較，如果a[i] > top，則把a[i]加入數組末尾，如果a[i] < top，則從棧中找到第一個 大於a[i]的數，替換成a[i]。這樣最後棧的長度就是LIS的長度。
• 核心代碼：

int find(int l, int r, int x) {						//找出第一個>a[i]的元素，如果沒有，返回l
	while (l < r) {
		int mid = l+(r-l) / 2;
		if (f[mid] < x) {
			l = mid + 1;
		} else {
			r = mid;
		}
	}
	return l;
}
int lis() {
	int len = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int k = find(0,len,a[i]);
		f[k] = a[i];							//如果返回的 k = len，則代表把a[i]加入了末尾
		if (k == len) {					//長度+1
			len++;
		}
	}
	return len;
}

舉例說明，依舊是上面的例子 ：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
a[i]	2	3	4	2	3	4	5	6

可以通過打表看出

其中的 k = len時，len++ ，代表a[i]加入了數組的末尾。每次len都比數組f[n]的長度 多一位，在二分算法裏，如果所有的元素都比a[i]小，那麼k = 新加的一位，a[i] 加入f數組的末尾。