醫學超聲成像—合成孔徑法（Synthetic Aperture Methods）[3]

Reference：Yao H . Synthetic Aperture Methods forMedical UltrasonicImaging[J]. 1997.

4. Real Aperture Beamforming（實時孔徑波束形成）

• beamforming：將傳感器陣列的信號獲取能力調整到一個特定方向
• Beam control method（波束控制方法）：dynamic aperture（動態孔徑）、dynamic focusing（動態調焦）、apodization（變跡）
• delay beamformer、sum beamformer

4.1 Delay and Sum Beamformer（延時、求和波束形成）

4.1.1基本原理

電子波束（Electronic beamforming）形成可以通過傳感器陣列實現。
考慮一個線性陣列，由N個傳感器單元，相鄰傳感器單元間隔爲d，沿x軸分佈。第n個單元的位置滿足：

假定被觀測的波長爲$f(\vec{x},t)$，$\vec{x}=(x,y,z)$表示觀測點座標，則第n個單元觀測到的波形爲KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\vex' at position 10: y_n(t)=f(\̲v̲e̲x̲{x}_n,t)。

delay and sum beamformer包含對單元輸出的延時$\Delta_n$，然後把得到的信號相加。delay and sum beamformer的輸出爲：

其中，$w_n$表示權重，可以指shading、taper、apodization（變跡），在0-1之間。

假設波長爲單頻平面波，時間頻率爲$\omega^0$，波數爲$\vec{k}^0$（波數即波長的倒數乘以$2\pi$,即$k=2\pi/\lambda$）：

使用了1D的陣列（如圖4.1），可以對公式進行簡化，$\vec{x}_n=x_n$，$k_x^0=k^0sin\theta$，其中$\vec{k}^0=(k_x,0,k_z)$，$k^0=|\vec{k}^0|$，$\theta$爲傳播方向，得到：

由此得到：

當延遲取值爲：

此時，延遲被設置爲觀察波平面的傳播方向，beamformer的輸出達到最大值，即$e^{jw^0t}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n$。

我們可以調整（steer）陣列波束的觀測到一系列假定的傳播方向，設置$\Delta_n=-\frac{1}{c}x_n \text{sin}\theta^0$，此時平面波波束形成後的觀察結果爲：

delay and sum beamformer對單頻波的響應結果通常被稱爲陣列模式（array pattern）。在這個例子中，陣列模式爲

陣列模式決定了陣列的方向模式（directivity pattern）或者波束模式（beam pattern）。波束模式的公式與上式相同，波束的轉向角度爲固定值$\theta^0$，角度變量爲$\theta$。

4.1.2 聚焦深度

聚焦深度$L_F(YdB)$指在焦點周圍區域，波束最大可能幅值小於$Y$ dB的範圍。在這個範圍內，幾何聚焦的變化對波束的直徑影響不大。令$Y$爲3 dB，則聚焦深度爲：

其中，R表示焦距，D表示孔徑的直徑。
令FN爲焦距和孔徑直徑之間的比值，即$FN=R/D$，則上式可以寫作：

FN又被稱作F數（F-number）。

4.1.3 轉向（steering）與聚焦延遲

線性相位陣列（相控陣）可以通過對發射信號和接收信號添加合適的延遲來實現聚焦和轉向。

考慮一個相位陣列，有N個單元，相鄰單元間隔爲$d=\lambda/2$，假定聚焦點和轉向值爲$(r,\theta)$，其中$\theta$表示轉向角度，r表示聚焦範圍。將座標原點設置在相控陣的中心。
第m個單元的單向延遲爲：

其中，$\tau_m'$表示單元m與點(r,\theta)之間的距離，$0\leq m\leq N-1$
根據餘弦定理，求得距離$r_m'$爲：

其中$x_m$表示第m個單元的位置。代入得到m單元的單向延時爲：

其中，$\tau_m^s$表示轉向延時（steering delay），$\tau_m^f$表示聚焦延時

聚焦的主要目的是提高橫向分辨率。注意到聚焦延遲$\tau^f$與焦點範圍r有關，因此，聚焦可以是固定的，動態的或複合的。

• 固定聚焦將焦點固定在特定值R，得到：
  
  一種典型的設置方法是將焦點設置在中線，即$\theta=0$，這樣得到的波束寬度當R固定時是最小的。
• 動態（dynamic）聚焦：聚焦延遲時關於r的函數。
• 複合（composite）聚焦

4.1.4 雙向延遲與求和（Two way delay and sum）

短脈衝由m單元激發，n單元接收，則round-trip delay爲：

其中$(m,n)$視作一個激發-接收組合，$0\leq m,n\leq N-1$，$\tau_m, \tau_n$可由上一小節的推導式得到。
對於N個單元的相控陣，A模式得到的信號$a_{PA}(t)$爲：

其中，$y_{m,n}(t)$是回波信號，第一個求和號表示發射的波束形成（transmit beamforming）和接收的波束形成（receive beamforming）

對於成像平面上的每個點，A-模式信號表達爲：

若波場爲單頻平面波，瞬時頻率爲$\omega^0$，則雙向波束形成按照均勻加權得到（且設置延遲轉向到波面方向）：

又因爲$\tau_m^s=\frac{s}{c}=\frac{x_m\text{sin}\theta}{c}$，代入得到：

是關於$\theta$的sinc-squared函數
在-26dB的時候有第一個旁瓣。

4.2 波束模式（Beam pattern）