[c++]數列

題目描述

有一個數列，滿足兩個性質：

1.數列中任意兩端相鄰且長度相等的部分不完全相同，比如3 6 3 6 是不合法的。

2.該數列是左右滿足條件1的數列中字典序最小的。給出一個整數N，求數列的第N項。

輸入

一個整數N
N<=$10^{1000}$
輸出
一個數，表示數列的第N項。

樣例輸入

20

樣例輸出

3

淺析

找規律

顯然這是一道找規律的題
因爲要求字典序最小，所以可以知道第一個數一定是 “1”
那第二個數就只能是“2”了噻，關鍵來了，第三個數怎麼求呢？
取”3“？那有沒有字典序更小的部分可以取呢？其實，這個時候我們知道題目是要“相鄰的並且長度相同的部分不相同”，這便是突破口，則此時我們又可以重新回到起點，再取一個“1”，當然第四個數，我們就可以取“3”了（如果繼續取2，則有” 1 2 1 2“，顯然”1 2“ = “1 2”）
繼續推下去，可以發現：（這太難推了吧）
這個數列實際上是這樣的：

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 6

這個數列，就是將前面一部分“copy”下來，然後把最後一個數加“1”即可
（具體證明，留給大佬思考，其實就是本蒟蒻不會罷了）

答案求解

先看“1”，每隔一個數，便會出現一次，所以，如果 n % 2 = 1 便可輸出“1”。
再來分析“2”，除第一個“2”外，剩下的便是隔三個位置出現一次，那我們可以將每四個看爲一組，如果 n % 4 = 1 ，我們即可輸出 2
……
然後來個小總結
其實可以發現：
我們設這個數列爲{ans}

n % 2 = 1	ans = 1
n % 4 = 2	ans = 2
n % 8 = 4	ans = 3
n % 16 = 8	ans = 4
n % 32 = 16	ans = 5
n % 64 = 32	ans = 6

可以看到模數是$2^x$，而這個$x$就是答案，那我們怎麼求$x$？
將表格統一一下：
$n$ % $2^x$ = $2^{x - 1}$
由此可以得出：
$n$ $\equiv$ $2^x$ ($mod$ $2^x$)$\Longrightarrow$ ($n$ $/$ $2^x$) $\equiv$ 1 ($mod$ $2^x$))
所以，我們只需要一直除以二，直到 $n = 1$ 時，我們就可以輸出它除以二的次數（及$x$）

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 1000
#define reg register

char C[M + 5];
int A[M + 5],lenc,ans;

int main(){
    gets(C);
    lenc = strlen(C);
    for (reg int i = 0;i < lenc; ++ i)
        A[i + 1] = C[i] - '0';
    while(1){
        ++ ans;
        if (A[lenc] % 2){
            printf("%d\n",ans);
            return 0;
        }
        int x = 0;
        for (reg int i = 1;i <= lenc; ++ i){
            A[i] += x * 10;
            x = A[i] % 2;
            A[i] /= 2;
        }
    }
}