備戰省賽組隊訓練賽第二場 B: Master of Phi(數論,狄利克雷卷積)

題意:求解 \sum_{d|n} \phi(d)* \frac{n}{d} 給出n的m個質因子與其冪次

題解: \sum_{d|n} \frac{\phi(d)}{d} * n \\ = \sum_{d|n} \frac{\phi(d)}{d} *n \\ = \sum_{d|\prod_{i=1}^{m} p_{i}^{q_{i}}} \frac{\phi(d)}{d} * \prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}} \\ = \prod_{i=1}^{m} \sum_{d|p_{i}^j} \phi(d)* \frac{p_{i}^{q_{i}}}{d}    \sum_{d|x} \phi(d)* \frac{x}{d} \\ = x + \sum_{i=1}^{q} \phi(p^{i})*\frac{p^{q}}{p^{i}}\\ =p^{q}+(p-1)*p^{q}*\sum_{i=1}^{q} \frac{1}{p}\\ =p^{q-1}*(p+p*q-q)

O(Tm)

 

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