codeforces1153F Serval and Bonus Problem

題面

題意

在一條線段上隨機放n個線段,則被至少k條線段覆蓋的區間總長度期望爲多少.

做法

首先可以發現這n個線段的$2*n$個端點期望把線段等分爲$2*n+1$段,那麼只要計算每一段的貢獻即可.這個可以用dp求出每段區間被大於等於k條線段覆蓋的方案數,再除以總方案數,即可得到每段區間對答案的貢獻,然後就能統計答案了.

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 2010
#define MN 4000
#define M 998244353
using namespace std;

ll n,m,L,tot,ans,dp[N<<1][N],jc[N<<1],nj[N<<1];

inline void Add(ll &u,ll v){u=(u+v)%M;}
inline ll po(ll u,ll v)
{
	ll res=1;
	for(;v;)
	{
		if(v&1) res=res*u%M;
		u=u*u%M;
		v>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	ll i,j,len;
	jc[0]=1;for(i=1;i<=MN;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%M;
	nj[MN]=po(jc[MN],M-2);for(i=MN-1;i>=0;i--) nj[i]=nj[i+1]*(i+1)%M;
	cin>>n>>m>>L;
	len=po(n*2+1,M-2);
	dp[1][1]=1;
	for(i=1;i<n*2;i++)
	{
		for(j=0;j<=min(i,n);j++)
		{
			if(!dp[i][j]) continue;
			if(j+1<=n*2-i-1) Add(dp[i+1][j+1],dp[i][j]);
			if(j) Add(dp[i+1][j-1],dp[i][j]*j%M);
		}
	}
	tot=dp[n*2][0];
	for(i=1;i<n*2;i++)
	{
		for(j=m;j<=n;j++)
		{
			Add(ans,dp[i][j]*dp[n*2-i][j]%M*jc[j]%M);
		}
	}
	ans=ans*po(tot,M-2)%M*len%M*L%M;
	cout<<ans;
}