回溯算法--总结与例题整理

本文从以下几个方面对回溯算法进行总结：

1、什么是回溯算法

2、回溯算法与穷举法的区别与联系

3、回溯算法的解题步骤（准备工作、解题步骤、递归方法的参数选择）

4、例题：LeetCode-39 组合总和、LeetCode-40 组合总和Ⅱ

5、例题整理

一、什么是回溯算法

回溯算法（百度百科）实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

二、回溯算法与穷举法的区别与联系

回溯法与穷举法有某些联系，它们都是基于试探的，但是回溯算法是优于穷举法的。穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。（所谓剪枝，也就是避免了一些不必要的搜索）

三、回溯算法的解题步骤

准备工作：

1）由于采用回溯法求解时存在退回到祖先结点的过程，所以需要保存搜索过的结点。

通常有两种方法：1、用子定义栈来保存；2、采用递归方法。

2）用回溯法通常采用两种策略避免无效搜索。这两类函数统称为剪枝函数。

1、用约束函数在扩展结点处剪除不满足约束条件的路径；

2、用限界函数剪去得不到问题的解或最优解的路径。

3）要保证递归函数返回或弹出栈顶元素后，状态可以恢复到操作前，以此达到真正的回溯。

回溯法求解的一般步骤：

1、针对给定的问题确定问题的解空间树

2、确定结点的扩展搜索规则。

3、以深度优先方式搜索解空间树，并在搜索过程中可以采用剪枝函数来避免无效搜索。其中，深度优先方式可以采用递归回溯或者非递归（迭代）回溯。

递归方法的参数选择：

1、一个临时变量(可以就直接传递一个字面量或者常量进去)传递不完整的解，因为每一步选择后，暂时还没构成完整的解，这个时候这个选择的不完整解，也要想办法传递给递归函数。也就是，把每次递归的不同情况传递给递归调用的函数。
2、一个全局变量，用来存储完整的每个解，一般是个集合容器（也不一定要有这样一个变量，因为每次符合结束条件，不完整解就是完整解了，直接打印即可）。
3、最重要的一点，一定要在参数设计中，可以得到结束条件。一个选择是可以传递一个量n，也许是数组的长度，也许是数量，等等。

四、例题

LeetCode-39 组合总和 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。

解集不能包含重复的组合。

示例 1:
输入: candidates = [2,3,6,7],target = 7,
所求解集为:
[
  [7],
  [2,2,3]
]
示例 2:
输入: candidates = [2,3,5],target = 8,
所求解集为:
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        combinationSum(candidates, target, 0, new ArrayList<>(), result);
        return result;
    }

    // 回溯算法
    // 1、题目为无重复数组，故不需去重
    // 2、数字可被无限重复选取，故从start本身开始递归
    public static void combinationSum(int[] candidates, int target, int start, List<Integer> temp, List<List<Integer>> result) {
        if (target == 0) {
            result.add(new ArrayList<>(temp));
            return;
        }
        if (target < 0) {
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.length && candidates[i] <= target; i++) {
            temp.add(candidates[i]);
            combinationSum(candidates, target - candidates[i], i, temp, result);
            temp.remove(temp.size()-1);
        }
    }

LeetCode-40 组合总和Ⅱ 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明：

所有数字（包括目标数）都是正整数。

解集不能包含重复的组合。

示例 1:
输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
所求解集为:
[
  [1, 7],
  [1, 2, 5],
  [2, 6],
  [1, 1, 6]
]
示例 2:
输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
所求解集为:
[
  [1,2,2],
  [5]
]

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        combinationSum2(candidates, target, 0, new ArrayList<>(), result);
        return result;
    }

    // 回溯算法
    // 1、题目为重复数组，故需要去重
    // 2、数字只能选取一次，故从start+1开始递归
    public static void combinationSum2(int[] candidates, int target, int start, List<Integer> temp, List<List<Integer>> result) {
        if (target < 0) {
            return;
        }
        if (target == 0) {
            result.add(new ArrayList<>(temp));
            return;
        }
        for (int i = start; i < candidates.length && candidates[i] <= target; i++) {
            if (i > start && candidates[i] == candidates[i-1]) // 去重
                continue;
            temp.add(candidates[i]);
            combinationSum2(candidates, target - candidates[i], i+1, temp, result);
            temp.remove(temp.size()-1);
        }
    }