Manacher's Algorithm——搜索最長迴文串

最近刷leetcode刷到一個尋找最長迴文串的題，想了很久都沒想出能夠將算法複雜度降低至O(n²)以下的方法，只能上網搜求答案：Manacher’s Algorithm 馬拉車算法

這篇文章將Manacher算法分爲兩個重點：

1. 對字符串進行修改，在每個字符兩邊添加標識符#，而後在字符串首另外添加符號$ ，於是乎字符串abcdcba變爲$#a#b#c#d#c#b#a#，根據原文中的求解，原迴文串長度l₀與現迴文串半徑r₁的關係爲l₀ = r₁ -1，而原迴文串的起始位置p₀ = (m₁ - r₁) / 2，其中m₁爲現迴文串的中心點位置
2. 逐字符掃描，新增兩個變量mx和id，mx爲當前已知所有迴文串的右邊界中最大的那一個(所有處於已知迴文串的字符的位置均小於mx)，id則爲該回文串的中心位置，此時有p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1; 其中p[i]爲第i個字符的半徑，即我們正在掃描的字符的半徑

其中1比較好理解，但是2有點費解，這裏按照我自己的思路去解釋2，manacher算法其實是基於中心擴展法的一個優化，對於我們正在掃描字符s[i]，有兩種情況：(1)獨立存在 （2）被包含在另一個迴文串中，manacher算法正是基於這兩種情況給出了優化方案：

1. mx <= i，很明顯，當前正在掃描的字符s[i]不被包含在任何一個已知的迴文串中，所以我們只能根據中心擴展法，一個一個的乖乖掃描出以s[i]爲中心的迴文串半徑
2. mx > i，i被包含在迴文串h中（h的右邊界即爲mx），這裏又分兩種情況，2*id-i 是i在迴文串h中的對稱位置，如果mx-i > p[2*id-i]，根據對稱原則，以i爲中心的迴文串被全包含在迴文串h中，所以p[i]=p[2*id-i]，否則的話，p[i]的半徑至少爲mx-i，然後我們就只能繼續往右逐字符掃描，計算出p[i]的真實值

原文作者已經貼出他自己的代碼，這裏就不贅述了。