相機標定--內參之絕對圓錐曲線

原文鏈接：https://blog.csdn.net/yhl_leo/article/details/49357087

絕對圓錐曲線

在進一步瞭解相機標定前，有必要了解絕對圓錐曲線（Absolute Conic）這一概念。

我們定義一個假象的平面，這個平面在三維空間中處於無窮遠處，對於一個3D空間的點，其齊次座標爲：。如果這個點在平面內，則應當滿足。

再做一條假設，在三維空間中任意平面中的圓，它在平面上的投影都必經過兩個點，這兩個點叫circle points，這也是爲什麼在一平面內確定一個圓只需要3個點，而確定其他二次曲線需要5個點。那麼，三維空間中任一個圓在平面處的circle points組成了絕對圓錐曲線Absolute Conic，記作。

由平面和絕對圓錐曲線的性質可得, 上的點滿足

                                                   
即。讀至此處，我們發現不管是和，都是存粹想象出來的，很難在實際生活裏找到實例，但是科學就是這麼迷人，給定一個起始點，想象和求知探索的渴求卻不受其限制，直至永無止境。

此時，或許我們會困惑，爲什麼要費盡心機想象出絕對圓錐曲線呢？原因在於絕對圓錐曲線所具有的一條重要特性：對於剛體變換具有不變性，這麼說是不是有點不明覺厲，那就繼續往下看。

首先簡單講一下剛體變換：只有物體的位置（平移變換）和朝向（旋轉變換）發生改變，而形狀不變，得到的變換稱爲剛體變換。以三維剛體變換爲例：

                                                             
或者表述爲： 
                                              或者 

令，對於位於絕對圓錐曲線上的點，剛體變換後的點可表示爲：

                                                      
則很明顯也是位於無窮遠平面上的點，而且是位於同一絕對圓錐曲線上點：

                                           
令絕對圓錐曲線在成像平面對應的圖像稱爲，也被簡記爲IAC（Image of the absolute conic），當然這也是想象出來的~於是對於上的任一點，其成像點滿足：

                                                     
                                                 
因此，絕對圓錐曲線的成像構成一個虛構曲線，這個虛擬曲線由決定，這與相機的外參完全無關，而僅僅由相機內參決定。可以設想，如果我們找到了絕對圓錐曲線通過相機所成的圖像，那就可以求解出相機內參。至此，我想大家也就明白爲什麼會提出Absolute Conic這一概念了吧。事實上，這一理論在相機自檢校標定法（Self-calibration）中作爲基礎理論，十分重要。

後續文章將會爲大家介紹幾種確定絕對圓錐曲線對應的圖像的方法。