數論基礎（OWO大佬上課筆記m）

#目錄#

厄拉多塞篩素數

歐拉篩素數

最大公約數

莫比烏斯函數

歐拉函數（待更）

費馬小定理（待更）

歐拉函數（待更）

擴展歐拉函數（待更）

二次探測定理（待更）

（PS: 由於博主水平有限，如有錯誤還望大家包涵。）

厄拉多塞篩素數

樸素實現：從小到大枚舉$x$，將$x$的倍數標記爲合數。
時間複雜度（調和級數）：

$\sum_{x=2}^n \lfloor\frac n x \rfloor \leqslant n\sum_{x=1}^n \frac1 x = O(n ln n)$

優化實現：從小到大枚舉$x$，若$x$爲素數，則將$x$的倍數標記爲合數：
時間複雜度（梅滕斯第二定理）：

$\sum_{p=\Bbb P}^n \lfloor\frac n p \rfloor \leqslant n\sum_{p=\Bbb P}^n \frac1 p = O(n \ln \ln n)$

歐拉篩素數

實現：從小到大枚舉數$x$，再從小到大枚舉素數$p$，將$px$標記爲合數，直到$p\mid x$。
時間複雜度：$O(n)$

貝祖定理

$關於 x、y 的方程 ax+by=c有解，當且僅當\gcd(a,b)=c$

歐幾里得算法

由貝祖定理可以推出：
$\gcd(a,b)=\gcd(b,a-b)$
反覆執行減法可以得到：
$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$

擴展歐幾里得算法

莫比烏斯函數

$\mu(n) = \begin{cases} (-1)^\gamma, & \text{n=$p_1p_2p_3\cdots p_\gamma$} \\ 1, & \text{n=1}\\ 0, & \text{else cases} \end{cases}$

有的小朋友們可能會問了，莫比烏斯函數有什麼作用呢？
其實莫比烏斯函數最普遍的用處是容斥原理篩互質的數
比如對於此問題：

$tot=n-\sum_{p_1\in \Bbb P } \lfloor \frac n {p_1^2} \rfloor +\sum_{p_1,p_2\in \Bbb P } \lfloor \frac n {p_1^2p_2^2} \rfloor -\sum_{p_1,p_2,p_3\in \Bbb P } \lfloor \frac n {p_1^2p_2^2p_3^2} \rfloor +\cdots$

就可以通過莫比烏斯函數轉化爲以下形式：

$\sum_{x\geqslant1} \mu(x)\lfloor \frac n{x^2} \rfloor$

那麼問題來了，究竟怎麼求莫比烏斯函數呢？
其實用遞推的方法就很簡單了：

首先，因爲：

$對於任意gcd(p,q)=1,有\mu(pq)=\mu(p)\mu(q)$

所以，對於：

$p\in \Bbb P , x\in \Bbb N^* \begin{cases} p, & \text { $\mu(p)=-1;$ } \\ px且p\nmid x, &\text{$ \mu(px)=\mu(p)\mu(x)=-\mu(x) $}\\ px且p\mid x, &\text{$ \mu(px)=0 $} \end{cases}$

然後直接遞歸就vans