生日問題

生日問題

1.引入

假設教室內存在$n$名同學，求至少兩名同學生日相同的概率。

2.生日悖論

（此部分引用自@Harrytsz的博客）

從反面考慮這一問題，即求任意兩名同學生日不同的概率。

顯然存在以下性質：

1.第一個同學的生日有$365$種選擇；
2.第二的同學的生日有$364$種選擇；
3.第三個同學的生日有$363$種選擇；
4.第四個同學的生日有$362$種選擇；
5.第i個同學的生日有$365 - i + 1$種選擇；

因爲$n$位同學選擇總數爲：

$\prod _{i=1}^n 365=365^n$

故不同的選擇總數爲：
$E(n)=\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1}$

因此$n$位同學生日不同的數學期望爲：

$E^{'}(n)=1-E(n)$

即
$E^{'}(n)=1-\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1}$

作出函數圖像爲：

易看出，當$n=23$時，$E'$就已經達到$0.5$左右。

3.證明

由推論得：
$E^{'}(n)=\prod^{n-1}_{i=1}\left ( 1-\frac i {365} \right )$

由平均值不等式:

$E^{'}(n)=\sqrt[n-1] {\prod^{n-1}_{i=1}\left (1- \frac i {365} \right )} < {\frac 1 {n-1}} \sum^{n-1}_{i=1} \left (1- \frac i {365} \right )$

去根號得：
$\prod^{n-1}_{i=1}\left (1- \frac i {365} \right )< \left( {\frac 1 {n-1}} \sum^{n-1}_{i=1} \left (1- \frac i {365} \right )\right)^{n-1}$

注意到等式左右滿足等差數列性質：
$\left( {\frac 1 {n-1}} \sum^{n-1}_{i=1} \left (1- \frac i {365} \right )\right)^{n-1} = \left(1-\frac n {730}\right)^{n-1}$

由泰勒展開的等階無窮小推論：
$\left(e^x>1+x\right) \Longleftrightarrow (e^{-x}>1-x)$

顯而易見的：
$\left(1-\frac n {730}\right)^{n-1} < \left(e^{-n/730}\right)^{n-1} = e^{-(n^2-n)/730}$

如果僅當：
$n^2-n>730\log_e2 \cong 505.997...$

那麼最後一個表達式會小於 $0.5$ 。
而注意到這個數略小於 $506$ 
當取 $n^2-n=506$ 時
就得到 $n=23$