day 14-15 算法：二分查找、字典樹；實現一個求解平方根的函數，實現一個字典樹

N皇后和數獨問題比較難，暫時不去練習。

1. 題目

1. 實現一個求解平方根的函數：實現 int sqrt(int x)函數，計算並返回x的平方根，其中x是非負整數。
2. 實現一個字典樹，包含insert， search，startsWith這三個操作。

2. 基本知識

2.1 二分查找

2.1.1 前提條件：

1. sorted（單調遞增或者遞減）
2. 存在上下界
3. 能夠通過索引來訪問

2.1.2 適用場景：

有序的數組；鏈表不適合

2.2 字典樹

2.2.1 定義

Trie樹，即字典樹，又稱單詞查找樹或鍵樹，是一種樹形結構，是哈希樹的變種。典型的應用是用於統計和排序大量的字符串，所以經常被搜索引擎系統用於文本詞頻統計。

2.2.2 優點

最大限度的減少無謂的字符串比較，查詢效率比哈希表高。

2.2.3 核心思想

Trie的核心思想是空間換時間，利用字符串的公共前綴來降低查詢時間的開銷，以達到提高效率的目的。

2.2.4 基本性質

1. 根節點不包含字符，除根節點外每一個節點都只包含一個字符
2. 從根節點到某一節點，路徑上經過的字符連接起來，爲該節點對應的字符
3. 每個節點的所有子節點包含的字符不同

3. 算法題解

3.1 實現一個求解平方根的函數

實現 int sqrt(int x)函數，計算並返回x的平方根，其中x是非負整數

解法：二分查找
此題求解並不是精確值，所以可以這麼做，首先確定邊界：根據常識定義邊界,非負數，左邊界爲1,右邊界肯定不大於n/2，然後進行二分查找，直到left == right或者left > right時截止，將left值作爲題解。（向下取整）
時間複雜度 O(logⁿ),空間複雜度 O(1)

public static int mySqurt(int n) {
    //根據常識定義邊界,非負數，左邊界爲1,右邊界肯定不大於n/2
    int left = 1;
    int right = n/2;
    //只要還左邊界比右邊界小，一直循環
    while (left < right) {
        // 進行二分查找
        int mid = left + (right - left)/2;
        int square = mid * mid;

        if (square > n) {
            right = mid - 1;
        }else {
            left = mid;
        }
    }
    return left;
}

3.2 實現一個字典樹，包含insert， search，startsWith這三個操作

說明：

• 假設所有輸入都是小寫字母a-z
• 保證所有輸入均爲非空字符串

首先，定義TrieNode類：

public class TrieNode {
    private TrieNode[] links;
    private boolean isEnd;
    public TrieNode(){
        links = new TrieNode[26];
    }
    public boolean contaionsKey(char cha){
        return links[cha - '1'] != null;
    }
    public TrieNode get(char cha){
        return links[cha - 'a'];
    }
    public void put(char cha, TrieNode node){
        links[cha - 'a'] = node;
    }
    public boolean isEnd() {
        return isEnd;
    }
    public void setEnd() {
        isEnd = true;
    }
}

插入字符串

遍歷字符串，層層判斷是否已有該字符，如果沒有，則創建一個新節點，存入字符，如果已有，則移動到樹的下一層繼續遍歷。

時間複雜度：O(n), 空間複雜度 O(n)(如果節點都不存在的情況，需要創建n次節點)

public class Trie {
    private TrieNode root;

    public Trie(){
        root = new TrieNode();
    }
    public void insert(String word){
        TrieNode node = root;

        for (int i = 0; i< word.length(); i++) {
            char c = word.charAt(i);
            if (!node.contaionsKey(c)) {
                node.put(c, node);
            }
            node = node.get(c);
            node.setEnd();
        }
    }
}

查找字符串是否存在

遍歷字符串中的字符，如果Trie中已存在字符，移動到下一個節點繼續查找，直到最後一個char找到爲止，否則返回false。

時間複雜度 O(n) 空間複雜度O(1)

public boolean sarch(String word){

    TrieNode node = root;
    for (int i = 0; i < word.length(); i ++){
        char c = word.charAt(i);
        if (node.contaionsKey(c)){
            node = node.get(c);
        }else{
            node = null;
            break;
        }
    }
    if (node != null && node.isEnd()){
        return  true;
    }else {
        return false;
    }
}