Math tricks-min max的順序問題

min /max的順序問題，常見的都是 諾伊曼的min max或者是 Simon 的minimax theroem

這裏只是標記一下，並不詳細推導, 主要解釋 https://blog.csdn.net/qq_30074301/article/details/98727110
中 的推導問題

簡化爲：
$\max_t \{ \phi_1(t) - \max_{k} \min_{t} \phi(k,t) \} = \max_{t} \{ \phi_1(t) - \max_{k} \phi(k,t) \}$
首先要明確的一點是
$- \min f(x) \neq \min - f(x)$
其實 $- \min f(x) = \max -f(x)$
同理的
$\min -f(x) = -\max f(x)$

所以此時

$- \max_{k} \min_{t} \phi(k,t) \stackrel {a} = -\min_{t} \max_{k} \phi(k,t) = \max_{t} \{- \max_{k} \phi(k,t) \}$

所以原式變成：
$\max_{t} \{ \phi_1(t) + \{ - \max_{k} \phi(k,t) \} \}$
去掉加號 就是了

另外關於lemma1, 用高中先 $f(x) = -\ln x -\phi(t)$ 對x 求導，判斷最小值點=0，就可以得出來 $- \ln x \geq \max_{t>0} \phi(t)$