Math-tricks 關於rank-one矩陣可對角化的充要條件

關於rank-one矩陣可對角化的充要條件

首先，回顧一下可對角化的定義

另外，這裏的冪零矩陣指的就算Jordan塊肩上的部分（對角線元素爲0），矩陣分析中已證明這種矩陣的冪次方等於0，當冪指數大於某一個值的時候。

根據這裏的描述，
rank-one矩陣$\pmb A$可對角化 $\Leftrightarrow {\rm {tr}}(\pmb A) \neq 0$

證明：
$\leftarrow$，顯然 （還是多說一句，如果 $\Leftrightarrow {\rm {tr}}(\pmb A) \neq 0$，說明特徵值至少有一個不爲0，而$\pmb A$是rank-one的，所以用Jordan標準型看，對角線元素只有一個非零值，且不存在rank>=2的Jordan塊。即非對角線元素均爲0，即，可對角化
$\rightarrow$, rank-one矩陣可分解爲： $\pmb A = \pmb a \pmb b^H$, 若$\pmb A$ 可對角化，則對角線元素不全爲0，注意到 ${\rm {tr}} (\pmb A) = {\rm {tr}} ( \pmb a \pmb b^H) = {\rm {tr}} (\pmb b^H \pmb a) \neq 0$
其中 $\pmb b^H \pmb a$是一個複數，也可用反證法，若爲0，則說明對角線元素全爲0，與$\pmb A$可對角化矛盾