hdu6602 Fansblog（威爾遜定理+大整數判斷素數+質數密度+逆元）

題目鏈接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

題目描述

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樣例

Sample Input

1

1000000007

Sample Output

328400734

題意

給定一個大質數P（1e9與1e14之間），找出小於P的最大質數Q，求Q！mod P的值。

思路

先了解一個事實，P與Q之間的差值並不大。因此可以從P開始枚舉，同時採用miller_rabin算法判斷質數，求出Q。

接下來要求Q!，我們通過威爾遜定理可以求出(P-1)！mod P的值，將其不停除以從Q+1到P-1的值得到Q！mod P的值，使用乘法逆元處理即可。

由於所有的數字都很大，因此兩個數相乘可能超過long long的表示範圍。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std; 
ll p;  

ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速積取模 a*b%n，處理乘法運算超過long long表示範圍的情況 
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速冪取模 a^b%n
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
        a=ModMul(a,a,n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
bool is_prime(ll n)//Miller-Rabin素數檢測算法
{
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
            return true;
      if(n<2||!(n&1))
            return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i<s;i++)
      {
          a=rand()%(n-1)+1;
          x=ModExp(a,u,n);
          for(j=0;j<t;j++)
          {
              y=ModMul(x,x,n);
              if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                    return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1)
                return false;
      }
      return true;
}
ll inv(ll a){
    return ModExp(a,p-2,p);
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>p;
        ll q;
        for(q=p-1;q>=2;q--)if(is_prime(q))break;
        ll ans=1;
        if(q==p-1){
            cout<<p-1<<endl;
            continue;
        }
        for(ll i=q+1;i<=p-2;i++){
            ans=ModMul(ans,inv(i),p);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}