高等數學 —— 映射與函數 —— 函數

1.函數的概念

設數集$D \subset R$，則稱映射$f:D \to R$爲定義在D上的函數，通常簡記爲

$y=f(x),x \in D$

其中$x$稱爲自變量，$y$稱爲因變量，$D$稱爲定義域，記作$D_f$，即$D_f=D$
函數的定義中，對每個$x \in D$，按對應法則$f$，總有唯一確定的值$y$與之對應，這個值稱爲函數$f$在$x$處的函數值，記作$f(x)$，即$y=f(x)$。因變量$y$與自變量$x$之間的這種依賴關係，通常稱爲函數關係。函數值$f(x)$的全體所構成的集合稱爲函數$f$的值域，記作$R_f$或$f(D)$，即

$R_f=f(D)={y|y=f(x),x \in D}$

需要指出，按照上述定義，記號$f$和$f(x)$的含義是有區別的:前者表示自變量$x$和因變量$y$之間的對應法則，而後者表示與因變量$x$對應的函數值。但爲了敘述方便，習慣上常用記號"$f(x),x \in D$" 或 "$y=f(x),x \in D$"來表示定義在$D$上的函數，這時應理解爲由它所確定的函數$f$
表示函數的記號是可以任意選取的，除了常用的$f$外，還可以使用其他的英文字母或希臘字母，如“$g$”、“$F$”、“$\varphi$” 等。相應的，函數可記作$y=g(x),y=F(x),y=\varphi(x)$等。有時還可以直接用因變量的記號來表示函數，即把函數記作$y=y(x)$,但在同一問題中，討論到幾個不同的函數時，爲了表示區別，需用不同的記號來表示它們。
函數是從實數集到實數集的映射，其值域總在$R$內，因此構成函數的要素是：定義域$D_f$及對應法則$f$。如果兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，那麼這兩個函數就是相同的，否則就是不同的

2.幾種常見的分段函數

絕對值函數

$y=|x|=\begin{cases}-x, &x \lt 0 \\ x , &x \geq 0\end{cases}$

符號函數

$y= sgn\; x =\begin{cases}-1, &x \lt 0 \\ 0 , &x = 0 \\ 1, &x \gt0 \end{cases}$

取整函數

$y=[x]$

用幾個式子來表示一個(不是幾個!)函數，不僅與函數定義並無矛盾，而且有現實意義。例如在等溫過程中，氣體壓強$p$與體積$V$的函數關係，當$V$不太小時依從玻意爾定律；當$V$相當小時，函數關係就是用範德瓦爾斯方程來表示，即

$y=|x|=\begin{cases} \frac{\gamma}{V-\beta} -\frac{\alpha}{V^2} , & \beta \gt V \lt V_0 \\ \frac{k}{V} , &V \geq V_0\end{cases}$

3.函數的幾種特性

1.函數的有界性

• 上界
• 下界
• 有界
• 無界

2.函數的單調性

• 單調增加
• 單調減少
• 單調函數

3.函數的奇偶性

• 奇函數
• 偶函數

4.函數的週期性

• 周期函數
• 週期
• 最小正週期
• 並非每個周期函數都有最小正週期

例如狄利克雷函數：
$D(x)=\begin{cases}1, &x \in Q \\ 0 , &x \in Q^C \end{cases}$

4.反函數與複合函數

反函數

作爲逆映射的特例，就有了反函數的概念：
設函數$f:D \rightarrow f(D)$是單射，則它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\rightarrow D$,稱此映射$f^{-1}$爲函數$f$的反函數
按此定義，對每個$y \in f(D)$,有唯一的$x \in D$,使得$f(x)=y$,於是有
$f^{-1}(y) = x$
這就是說，反函數$f^{-1}$的對應法則是完全由函數$f$的對應法則所確定的。
一般地，$y=f(x),x \in D$的反函數記作$y=f^{-1}(x),x \in f(D)$
若$f$是定義在D上的單調函數，則:$f:D \rightarrow f(D)$是單射，於是$f$的反函數$f^{-1}$必定存在，而且$f^{-1}$也是f(D)上的單調函數，單調性與原函數保持一致。
相對於反函數$y=f^{-1}(x)$來說，原來的函數$y=f(x)$稱爲直接函數。把直接函數和他的反函數的圖形花在同一座標平面上，這兩個圖形關於直線$y=x$是對稱的。

複合函數

複合函數是複合映射的一種特例，按照通常函數的記號，複合函數的概念可如下表述：

設函數$y=f(u)$的定義域爲$D_f$,函數$u=g(x)$的定義域爲$D_g$,且其值域$R_g \subset D_f$,則由下式確定的函數
$y=f[g(x)], x \in D_g$
稱爲函數$u=g(x)$與函數$y=f(u)$構成的複合函數，它的定義域爲$D_g$,變量$u$稱爲中間變量。
函數g與函數f構成的複合函數，即按"先g後f"的次序符合的函數，通常記爲$f \circ g$，即
$(f \circ g)(x) = f[g(x)]$
與複合映射一樣，$g$與$f$能構成複合函數$f \circ g$的條件是:函數$g$的值域$R_g$必須包含於函數f的定義域$D_f$，即$R_f \subset D_f$,否則不能構成複合函數。

5.函數的運算

設函數$f(x)$,$g(x)$的定義域依次爲$D_f,D_g,D=D_f \cap D_g \neq \phi$,則我們可以定義這兩個函數的下列運算：

• 和(差)$f \pm g$
  $(f \pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x \in D;$

• 積$f \bullet g$
  $(f \bullet g)(x)=f(x)\bullet g(x),x \in D;$

• 商$\frac{f}{g}$
  $(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x \in D \setminus \{x|g(x)=0,x \in D \};$

6.初等函數

基本初等函數：

• 冪函數
• 指數函數
• 對數函數
• 三角函數
• 反三角函數

以上五類函數統稱爲基本初等函數。

由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合步驟所構成並可用一個式子表示的函數，稱爲初等函數

應用上常遇到以e爲底的指數函數y=e^x 和 y=e^{-x}所產生的雙曲函數以及它們的反函數 —— 反雙曲函數

• 雙曲正弦
  $sh \; x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$

• 雙曲餘弦
  $ch \; x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$

• 雙曲正切
  $th \; x = \frac{sh \; x}{ch \; x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

• 反雙曲正弦
  $y = arsh \; x$

• 反雙曲餘弦
  $y = arch \; x$

• 反雙曲正切
  $y = arth \; x$