快速乘法

在乘法計算 $(a\times b) \% p$ 的結果時， $a\times b\ge2^{64}$（即unsigned long long範圍） ，如果直接算，顯然會溢出，這時，就可以用上快速乘法了 .

普通版

類似於快速冪，原理與快速冪類似，複雜度爲 $O(\log_2 b)$ .

原理：
設 $b = (b_nb_{n-1}...b_2b_1b_0)_2$
則 $ans=a\times b=a\times(2^nb_n+2^{n-1}b_{n-1}+...+2^1b_1+2^0b_0)$
當 $b_k$ 爲1時，$a$ 纔會乘上 $2^k$ ，結果 $ans$ 加上 $a\times 2^k$，$a\times 2^k=a<<k$ .

LL fast_mul(LL a, LL b, LL p)
{
        LL ans = 0;
        a %= p;
        while (b)
        {
                if (b&1)
                        ans = (ans+a) % p;
                b >>= 1;
                a <<= 1;
                a %= p;
        }
        return ans;
}

dls版

先說一句dlsnb.
可以使用long double進行運算，時間複雜度爲 $O(1)$，不過有時會使用不了，出現CE .

大佬解釋long double的輸出情況. 也可以直接看下面copy的結論 .

MSVC下long double爲8字節，而GCC編譯後的程序不論在Linux下還是在Windows下都爲12字節。不過仔細看可以發現，雖然GCC生成的程序佔用了12字節，但其只用到了前10字節（後2字節不論怎樣賦值其內容都不會發生改變），也就是說GCC的long double實際上是10字節（80bit）的。
除此之外，還可以發現，當使用scanf("%lf")時，不論變量是什麼類型的，都是按8字節存儲的（即按double類型存儲的），而使用scanf("%Lf")，則是按10字節存儲的（即按long double類型存儲的）。由於在MSVC下double = long double，所以不論怎麼混用，結果都是正確的。而在Linux下，我們發現，當存儲的long double爲真正的long double時（使用scanf("%Lf")），只能使用%Lf輸出結果，而long double內存儲的內容爲double時，只能使用輸出double的格式化字符串輸出。
所以猜想在GCC MinGW下，可能就像在Linux下存儲的double而強制輸出long double那樣會輸出爲0一樣，存儲的內容爲double，而MSVC將其認定爲long double輸出，所以最終結果爲0。

LL fast_mul(LL a, LL b, LL p)
{
        if (p <= 1e9)
                return a*b % p;
        if (p <= 1000000000000LL)
                return (((a*(b>>20)%p) << 20) + (a*(b&((1<<20)-1)))) % p;
        LL d = (LL)floor(a * (long double)b/p+0.5);
        LL res = (a*b - d*p) % p;
        if (res < 0)
                res += p;
        return res;
}

__int128版

這時，你只需要在你的宏定義里加上下面一句 :

#define LL __int128

不過，由於__int128不在C/C++的IO中定義，只能進行運算，而不能進行輸入輸出 .