快速乘法

在乘法计算 $(a\times b) \% p$ 的结果时， $a\times b\ge2^{64}$（即unsigned long long范围） ，如果直接算，显然会溢出，这时，就可以用上快速乘法了 .

普通版

类似于快速幂，原理与快速幂类似，复杂度为 $O(\log_2 b)$ .

原理：
设 $b = (b_nb_{n-1}...b_2b_1b_0)_2$
则 $ans=a\times b=a\times(2^nb_n+2^{n-1}b_{n-1}+...+2^1b_1+2^0b_0)$
当 $b_k$ 为1时，$a$ 才会乘上 $2^k$ ，结果 $ans$ 加上 $a\times 2^k$，$a\times 2^k=a<<k$ .

LL fast_mul(LL a, LL b, LL p)
{
        LL ans = 0;
        a %= p;
        while (b)
        {
                if (b&1)
                        ans = (ans+a) % p;
                b >>= 1;
                a <<= 1;
                a %= p;
        }
        return ans;
}

dls版

先说一句dlsnb.
可以使用long double进行运算，时间复杂度为 $O(1)$，不过有时会使用不了，出现CE .

大佬解释long double的输出情况. 也可以直接看下面copy的结论 .

MSVC下long double为8字节，而GCC编译后的程序不论在Linux下还是在Windows下都为12字节。不过仔细看可以发现，虽然GCC生成的程序占用了12字节，但其只用到了前10字节（后2字节不论怎样赋值其内容都不会发生改变），也就是说GCC的long double实际上是10字节（80bit）的。
除此之外，还可以发现，当使用scanf("%lf")时，不论变量是什么类型的，都是按8字节存储的（即按double类型存储的），而使用scanf("%Lf")，则是按10字节存储的（即按long double类型存储的）。由于在MSVC下double = long double，所以不论怎么混用，结果都是正确的。而在Linux下，我们发现，当存储的long double为真正的long double时（使用scanf("%Lf")），只能使用%Lf输出结果，而long double内存储的内容为double时，只能使用输出double的格式化字符串输出。
所以猜想在GCC MinGW下，可能就像在Linux下存储的double而强制输出long double那样会输出为0一样，存储的内容为double，而MSVC将其认定为long double输出，所以最终结果为0。

LL fast_mul(LL a, LL b, LL p)
{
        if (p <= 1e9)
                return a*b % p;
        if (p <= 1000000000000LL)
                return (((a*(b>>20)%p) << 20) + (a*(b&((1<<20)-1)))) % p;
        LL d = (LL)floor(a * (long double)b/p+0.5);
        LL res = (a*b - d*p) % p;
        if (res < 0)
                res += p;
        return res;
}

__int128版

这时，你只需要在你的宏定义里加上下面一句 :

#define LL __int128

不过，由于__int128不在C/C++的IO中定义，只能进行运算，而不能进行输入输出 .