高等數學 —— 函數的極限

一.函數極限的定義

在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近於某個確定的數，那麼這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限。

1.自變量趨於有限值時函數的極限

去心鄰域
以$x_0$爲中心的任何開區間稱爲點$x_0$的鄰域，記作$U(x_0)$;在$U(x_0)$中去掉中心$x_0$後，稱爲點$x_0$的去心鄰域，記作$\mathring{U}(x_0)$

如果在$x \rightarrow x_0$的過程中，對應的函數值$f(x)$無限接近於確定的數值$A$，那麼就說$A$是函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時的極限

定義1 $\;$ 設函數$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數$A$,對於任意給定的正數$\varepsilon$(不論它多麼小)，總存在正數$\delta$,使得當$x$滿足不等式$0 < |x-x_0| < \delta$時，對應的函數值$f(x)$都滿足不等式

$|f(x) - A| < \varepsilon$

那麼常數$A$就叫做函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時的極限，記作

$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A \; 或 \; f(x) \rightarrow A(當 x \rightarrow x_0)$

定義中$0 < |x-x_0|$表示$x \neq x_0$，所以$x \rightarrow x_0$時$f(x)$有沒有極限，與$f(x)$在點$x_0$處是否有定義並無關係。

定義1可以簡單地表述爲

$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,當 0 < |x - x_0| < \delta 時,有|f(x) - A| < \varepsilon$

函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時的極限爲A的幾何解釋如下:任意給定一正數$\varepsilon$,作平行於$x$軸的兩條直線$y = A + \varepsilon$ 和 $y = A - \varepsilon$，介於這兩條直線之間是一橫條區域。根據定義，對於給定的$\varepsilon$，存在着點$x_0$的一個$\delta$領域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，當$y=f(x)$的圖形上的點的橫座標$x$在領域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$內，但$x \neq x_0$時，這些點的縱座標$f(x)$滿足不等式
$|f(x) - A < \varepsilon|$
或
$A-\varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$
亦即這些點落在上面所作的橫條區域內，如下圖：

有時只能或只需考慮$x$僅從$x_0$的左側趨於$x_0$（記作$x \rightarrow x_0$）的情形，或$x$僅從$x_0$的右側趨於$x_0$（記作$x \rightarrow x_0$）的情形。在$x \rightarrow x_0$的情形，$x$在$x_0$的左側，$x < x_0$。在$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$的定義中，把$0 < |x - x_0| < \delta$改爲$x_0 - \delta < x < x_0$，那麼$A$就叫做函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時的左極限，記作
$\lim\limits_{n \to x_0^-}f(x) = A 或 f(x_0^-) = A$
類似地，在$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$的定義中，把$0 < |x - x_0| < \delta$改爲$x_0 < x < x_0 + \delta$，那麼$A$就叫做函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時的右極限，記作
$\lim\limits_{n \to x_0^+}f(x) = A 或 f(x_0^+) = A$
左極限與右極限統稱爲單側極限

根據$x \rightarrow x_0$時函數$f(x)$的極限的定義以及左極限和右極限的定義，容易證明：函數$f(x)$當$x \rightarrow x_0$時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在並且相等，即
$f(x_0^-) = f(x_0^+)$

2.自變量趨於無限大時函數的極限

如果在$x \rightarrow \infty$的過程中，對應的函數值$f(x)$無限接近於確定的數值$A$，那麼就說$A$是函數$f(x)$當$x \rightarrow \infty$時的極限

定義1 $\;$ 設函數$f(x)$當$|x|$大於某一正數時有定義。如果存在常數$A$,對於任意給定的正數$\varepsilon$(不論它多麼小)，總存在正數$X$,使得當$x$滿足不等式$|x| > X$時，對應的函數值$f(x)$都滿足不等式

$|f(x) - A| < \varepsilon$

那麼常數$A$就叫做函數$f(x)$當$x \rightarrow \infty$時的極限，記作

$\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A \; 或 \; f(x) \rightarrow A(當 x \rightarrow \infty)$

定義2可以簡單地表述爲

$\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists X > 0,當 x \rightarrow \infty 時,有|f(x) - A| < \varepsilon$

從幾何上來說，$\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A$的意義是：作直線$y=A-\varepsilon$和$y=A+\varepsilon$，則總有一個正數X存在，使得當$x<-X$或$x>X$時，函數$y=f(x)$的圖形位於這兩直線之間，這時，直線$y=A$是函數$y=f(x)$的圖形的水平漸近線，如下圖：

二.函數極限的性質

定理1(函數極限的唯一性) $\;$如果$\lim\limits_{n \to x_0}f(x)$存在，那麼這極限唯一

定理2(函數極限的局部有限性) $\;$ 如果$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$，那麼存在常數$M>0$和$\delta>0$,使得當$0<|x-x_0|<\delta$時，有$|f(x) \leq M|$

定理3(函數極限的局部保號性) $\;$ 如果$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$,且$A > 0$(或$A < 0$),那麼存在常數$\delta>0$,使得當$0<|x-x_0|<\delta$時，有$f(x) > 0$(或$f(x) <0$)

定理$3^1$ $\;$ 如果$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A(A \neq 0)$，那麼就存在着$x_0$的某一去心鄰域$\mathring{U}(x_0)$，當$x \in \mathring{U}(x_0)$時，就有$|f(x)| > \frac{|a|}{2}$

由定理3，易得以下推論：

推論 $\;$ 如果在$x_0$的某一去心鄰域內$f(x) \geq 0$（或$f(x) \leq 0$）,而且$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$，那麼$A \geq 0$（或$A \leq 0$）

定理4(函數極限與數列極限的關係) $\;$ 如果極限$\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A$存在，$|x_n|$爲函數$f(x)$的定義域內任一收斂於$x_0$的數列，且滿足：$x_n \neq x_0(n \in N_+)$，那麼相應的函數值數列$\{f(x_n)\}$必收斂，且$\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$