高等數學 —— 無窮小與無窮大

一.無窮小

定義1 $\,$ 如果函數$f(x)$當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時的極限爲零，那麼稱函數$f(x)$爲當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時的無窮小
特別地，以零爲極限的數列${x_n}$稱爲$n \to \infty$時的無窮小

注意：這裏的無窮小確切的說應該叫做"無窮小量"，它是一個變量。無窮小是我們人爲定義的東西
1、無窮小量不是一個數，它是一個變量。
2、無窮小量與自變量的趨勢相關。
例如：$x^2,sinx,1-cosx$都是當$x \to 0$時的無窮小量，$\sqrt{1-x}$是當$x \to 1$時的無窮小量

注意 $\,$ 不要把無窮小與很小的數（例如百萬分之一）混爲一談，因爲無窮小是這樣的函數，在$x \to x_0$（或$x \to \infty$）的過程中，這函數的絕對值能小於任意給定的正數$\varepsilon$，而很小的數如百萬分之一，就不能小於這個給定的$\varepsilon$。但零是可以作爲無窮小的唯一的常數，因爲如果$f(x) \equiv 0$，那麼對於任意給定的$\varepsilon>0$總有$|f(x)|<\varepsilon$

下面的定理說明無窮小與函數極限的關係

定理1 $\,$ 在自變量的同一變化過程$x \to x_0$（或$x \to \infty$）中，函數$f(x)$具有極限A的充分必要條件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是無窮小

二.無窮大

如果當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時，對應的函數值的絕對值$|f(x)|$可以大於預先指定的任何很大的正數$M$，那麼就稱函數$f(x)$是當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時的無窮大。精確地說，就是

定義2 $\,$ 設函數$f(x)$在$x_0$的某一去心鄰域內有定義（或$|x|$大於某一正數時有定義）。如果對於任意給定的正數$M$（不論它多麼大），總存在正數$\delta$（或正數$X$），只要$x$適合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），對應的函數值$f(x)$總滿足不等式
$|f(x)|>M$
那麼稱函數$f(x)$是當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時的無窮大

按函數極限的定義來說，當$x \to x_0$（或$x \to \infty$）時的無窮大的函數$f(x)$的極限是不存在的，但是爲了便於敘述函數的這一性態，我們也說"函數的極限是無窮大"，並記作
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \infty \, (或 \lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty)$
如果在無窮大的定義中，把$|f(x)|>M$換成$f(x)>M$（或$f(x)<-M$）,就記作

必須注意，無窮大（$\infty$）不是數，不可與很大的數（如1千萬、1億等）混爲一談。

一般地說，如果$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = \infty$，那麼直線$x=x_0$是函數$y=f(x)$的圖形的鉛直漸近線。

無窮大與無窮小之間有一種簡單地關係，即

定理2 $\,$ 在自變量的同一變化過程中，如果$f(x)$爲無窮大，那麼$\frac{1}{f(x)}$爲無窮小；反之，如果$f(x)$爲無窮小，且$f(x) \neq 0$，那麼$\frac{1}{f(x)}$爲無窮大