換錢的方法數（hard，主要怎樣去重）

思路1：空間壓縮的dp

dp[i]：表示換 i 的錢的方案數量

這裏注意去重，如2，3，5，換5的錢

                   0 1 2 3 4 5

以2爲起始  1 0 1 0 2 0

以3爲起始  1 0 1 1 2 1

以5爲起始  1 0 1 1 2 2

 故換5的錢一共2種方法：即2+3和5

這裏通過這樣的順序限定，使得2，3和3，2不會重複，因爲必定是3，2

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;

int getMethods(int n,vector<int> &nums,int aim){
    if(aim == 0) return 1;
    vector<int> dp(aim+1,0);
    dp[0] = 1;
    // 這裏通過這個順序，可以防止重複，如23,32都是5這種重複
    // 在2往上疊加的時候，3還是0，所以23此時5是0，3疊加的時候，5纔是1
    // 防止重複
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = nums[i];j <= aim;j++){
            dp[j] = (dp[j]+dp[j-nums[i]])%mod;
        }
    }
    for(auto n:dp) cout << n << ' ';
    cout << endl;
    return dp[aim];
}

int main(){
    int n,aim;
    cin >> n >> aim;
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0;i < n;i++) cin >> nums[i];
    int res = getMethods(n,nums,aim);
    cout << res << endl;
}

思路2：空間不壓縮

dp[i][j]：總錢數爲 i，使用 j 和 j 前面的錢去組合，最多的種數（紅色部分防重複）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;

int getMethods(int n,vector<int> &nums,int aim){
    if(aim == 0) return 1;
    vector<vector<int>> dp(aim+1,vector<int>(n+1,0));
    for(int j = 1;j <= n;j++) dp[0][j] = 1;
    for(int i = 1;i <= aim;i++){
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if(nums[j-1] <= i){
                dp[i][j] = (dp[i][j-1]+dp[i-nums[j-1]][j])%mod;
            }else{
                dp[i][j] = dp[i][j-1]%mod;
            }
        }
    }
    return dp[aim][n];
}

int main(){
    int n,aim;
    cin >> n >> aim;
    vector<int> nums(n);
    for(int i = 0;i < n;i++) cin >> nums[i];
    int res = getMethods(n,nums,aim);
    cout << res << endl;
}