圖像處理作業第三次

學號：2019E8013261007
班級：705
姓名：蔡少斐

圖像處理作業第三次

1.根據書中對傅立葉變換的定義，證明課本165頁上有關傅立葉變換的平移性質。

$F(u-u_0,v-v_0)$

$=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi((u-u_0)x/M+(v-v_0)y/N)}$

$=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{j2\pi(u_0x/M+v_0y/N)}e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$

$=DFT(f(x,y)e^{j2\pi(u_0x/M+v_0y/N)})$

$f(x-x_0,y-y_0)$

$=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi((x-x_0)u/M+(y-y_0)v/N)}$

$=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(xu_0/M+yv_0/N)}e^{j2\pi(xu/M+yv/N)}$

$=IDFT(F(u,v)e^{j2\pi(xu_0/M+yv_0/N)})$

2. 課本171頁上習題4.9。

$f(x,y) \rightarrow f(x,y)(-1)^{(x+y)}$

則根據如下公式，可得

$F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}) = \sum\sum f(x,y)(-1)^{(x+y)} e^{-j2\pi(xu/M+yv/N)}$

$\rightarrow F(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2})=DFT(f(x,y)(-1)^{(x+y)}) ....(a)$

進行共軛變換，可得

$F^*(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}) = F(\frac{M}{2}-u,\frac{N}{2}-v)$

根據比例性 ，那麼$(a)$式可以寫成：

$F(\frac{M}{2}-u,\frac{N}{2}-v) = DFT(f(-x,-y)(-1)^{(x+y)})$

最後每個像素乘以$(-1)^{(x+y)}$得到

$f(-x,-y) = f(M-x,N-y)$

由此,關於中心對稱。

3.證明高斯的傅立葉變換還是高斯函數。

已知：

$e^{-\pi (x^2+y^2)} = IDFT(e^{-\pi (u^2+v^2)})$

根據比例性

令$u \leftarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}u,v \leftarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}v$

那麼比例係數 $a = b = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

$f(ax,by) = \frac{1}{|ab|}F(u/a,v/b)$

即有

$F(u,v) =IDFT(Ae^{- (u^2+v^2)/2\sigma^2}) = A2\pi\sigma^2e^{- \pi2\sigma^2(x^2+y^2)}$