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0. (0,1)矩陣

首先我們來介紹（0，1）矩陣以及與之相關的一些定義和性質。
（0，1）矩陣顧名思義，應該是一個只有0和1組成的矩陣，它的形式化定義爲：

那麼它有什麼特殊的地方呢？下面我們來看看它的一些用處。

1. 關聯矩陣

關聯矩陣用來描述非空集合各元素和其子集之間關係的矩陣。它的形式化定義如下：

1.1. 置換、置換矩陣和置換方陣

這裏爲什麼突然又講置換了呢？因爲關聯矩陣的很多性質和置換有關。

在組合數學中，置換一詞的傳統意義是一個有序序列，其中元素不重複，但可能有闕漏。例如1,2,4,3可以稱爲1,2,3,4,5,6的一個置換，但是其中不含5,6。此時通常會標明爲“從n個對象取r個對象的置換”。

這個意思其實就是有序序列的重排列，只是不需要完全包含原來的所有元素。那麼對於一個序列是這樣，對於一個矩陣，自然而然的有置換矩陣和置換方陣，下面先給出其定義：

其實這個東西在我們之前學習線性代數裏已經學過，就是左乘變換行的位置，右乘變換列的位置。只不過這裏我們進行了定義和證明。

1.2. 置換矩陣的性質

上面是給出了置換矩陣和方陣的定義，下面說說置換矩陣的3條性質。

關於大小的性質

從這個定理中，可以知道置換矩陣都是一個扁的長方形矩陣，下面給出證明：
關於形狀的性質

這裏介紹了置換矩陣的樣子，也就是每行恰好只有1個1，其他全爲0，而每列不能超過1個1。這其實也是一個保持矩陣置換後，行列不會出現相加減的情況。爲定理7.1.3打下基礎。下面給出證明：
關於置換矩陣的作用的性質

這個就是很明顯了，爲了完成矩陣的置換，其實就是調換矩陣的行與列的位置。儘管這些我們都明白，但是我們還是要給出證明：

1.3. 關聯矩陣的性質

關聯矩陣左右相乘的意義：
這告訴我們 $AA^T$ 的意義是獲得兩兩子集的交集的元素數量，而 $A^TA$ 的意義是包含兩兩元素的子集的個數，這兩者正好是個相反的操作。下面給出證明：
矩陣的線秩和項秩
在給出定理7.1.5之前，我們首先介紹矩陣的線秩和項秩：
項秩(term rank)是矩陣的一個指標，設A是m×n的(0，1)矩陣，A中兩兩不在同一線(矩陣的一行或一列都稱爲矩陣的一條線)上的1的最大個數稱爲A的項秩。
線秩(line rank)是矩陣的一個指標，設A是m×n的(0，1)矩陣，A的行與列統稱爲線，包含A的全部1的最小線數稱爲A的線秩。

有了這個，我們就可以說明定理7.1.5了：

其實這裏的M就是項秩，m就是線秩。這個是不是和上一節的最大匹配和最小覆蓋有點相似？沒錯。下面我們給出證明：

置換矩陣的應用

可以看到，這其實就是使用l個置換矩陣P進行擬合一個特定的矩陣。其證明如下：

這裏可以推出關於（0,1）方陣的特殊性質：

這裏只是上面定理的一個特殊例子，同樣適用於雙隨機矩陣相關性質的證明。證明如下：

2 積和式

積和式是一個新的東西，有點類似行列式，就是一種計算矩陣的方法。

說白了就是計算行列式的時候，不要帶那個正負號就是積和式了。

積和式Per A的性質1

這個性質解釋了積和式與相異代表系之間的關係，下面給出證明：

而且，相異代表系的個數等於其積和式：

下面給出證明（真的是一個定理一個證明）：
積和式與常數的乘法

其實和矩陣與常數的乘法一樣，下面給出證明：
積和式的恆等變換

交換行列位置，最後還是這些數，當然是相等的，就像行列式一樣的。
積和式按位相加

這些都是和行列式類似的證明方法，這裏不做更細節的證明。

積和式的計算方法除了最原始的計算方法外，還有一種計算方法：

這個更像是二項式展開式，對吧？下面給出證明：

3. （0,1）矩陣類U（R,S）

這裏首先看標題，知道是講（0,1）矩陣的，那麼矩陣類是什麼呢？想一想編程、自然、語言裏，類表示滿足一系列特徵的對象的總和。那麼其特徵是什麼呢？就是這裏的R和S。
這裏先給出R和S的定義：

然後，我們給出矩陣類的定義：

那麼如果一個行向量是遞減的，那麼就可以將（0,1）矩陣規範爲極左矩陣：

這裏介紹一個定義，就是向量優於向量：

那麼存在一個顯而易見的命題：

這個命題無關緊要（結論是顯而易見的，證明也是顯而易見的），但是下一個證明則是比較重要的了，給出一個命題：

下面給出證明過程：

這個證明比較複雜，下面一個例子比較容易介紹這個過程：

下面是其變化過程，主要就是從左到右移位1，每次只能移動其最右列的那1，滿足列的數目即可。

那麼屬於一個矩陣類的兩個矩陣A,A’，是不是能夠通過這種變換完成相互轉換呢？

下面給出證明：

那這樣的矩陣太多了，如果非要找出一個矩陣來表示這個矩陣類，那麼就是成爲規範類，也是使用這種行列（0,1）矩陣來定義：