組合數學（5）——拉丁方與H矩陣例題

1.前言

之前一直講拉丁方與H矩陣的定理和證明，這次我們主要講解一些例題。一個是關於構造N階H矩陣的，另一個則是關於拉丁方的，都是課後習題。

2. 構造N階矩陣的方法

構造N階矩陣的方法有3種：直積，定理7.2.2和定理7.2.3.下面裏的定理和公式的具體內容均可以參見上一章《Hardmard矩陣》。我們這裏講一講怎麼構造。

2.1直積

這種方法適合數目比較小而且容易獲得的H矩陣，例如H4矩陣，就可以由H2矩陣和H2矩陣的直積得到，例如：
$H_2= \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right]$
則其直積結果爲：
$H_2 \times H_2=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]$

2.2使用定理7.2.3

這個定理適用於$n=h(p^\alpha+1)$，其中p爲素數，且h爲已知存在的H矩陣(如2,4,8等)，且$p^\alpha\equiv1(mod 4)$，例如：構造一個24階的H-矩陣。

根據定理7.2.3，令$p=5,\alpha=1,h=4$，結合引理7.2.4和引理7.2.1即可獲得。

2.3使用定理7.2.2

這個定理適用於$n=p^\alpha+1$其中p爲素數，且$p^\alpha\equiv3(mod 4)$。例如：構造一個28階的H-矩陣。

根據定理7.2.2，令$p=3,\alpha=3$即可，結合引理7.2.1獲得Q，即可證明。

3.拉丁方

關於拉丁方的預備知識可以參考《拉丁方矩陣》，這裏主要講2個題目。

3.1構造ST(21)

這裏的ST指的是Steiner三連繫。本文只介紹一種構造三連繫的方法，數量少的可以直接枚舉出來。這裏只介紹可以使用定理8.3.8構造出來的ST，即已知2個三連繫ST(v1)和ST(v2)，可以構造出ST(v1v2)。
這裏以ST(21)爲例。

根據定理8.3.8，令v1=3,v2=7.
ST(3)={1,2,3},ST(7)={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}}

現設$S=\{C_{11},C_{12},...,C_{17},C_{21},C_{22},..C_{27},C_{31},C_{32},...,C_{37}\}$爲ST(21)的基集。
根據定理8.3.8的證明過程，可以得到3類區組。

第一類區組有7個：
$\{C_{11},C_{21},C_{31}\}\\ \{C_{12},C_{22},C_{32}\}\\ ...\\ \{C_{1i},C_{2i},C_{3i}\}\\$
其中i就是v2的基集元素，這裏i最大爲7。

第二類區組有3*7=21個
$\{C_{11},C_{12},C_{13}\}\\ \{C_{11},C_{14},C_{15}\}\\ ...\\ \{C_{21},C_{22},C_{23}\}\\ \{C_{21},C_{24},C_{25}\}\\ ...\\ \{C_{31},C_{32},C_{33}\}\\ \{C_{31},C_{34},C_{35}\}\\ ...\\$
這裏的通項就是$\{C_{ir},C_{js},C_{kt}\}$其中i=j=k都是v1的基集元素，這裏就是1,2,3。(r,s,t)則爲v2的一個區組，這裏就是{1,2,3},{1,4,5}等等。

第三類區組有327=42個
其中前面i,j,k分別是v1基集的全排列，這裏指的是123的全排列有6種，每一種則搭配v2的7個區組，共計42個。

因此，有7+21+42=70個。

與之類似的是構造ST(27)，另外，ST(9), ST(13)，ST(15)等則只能使用獨特的構造方法進行構造。

3.2 若n爲奇數，證明必存在一對正交的n階拉丁方

證明存在一對正交拉丁方則需要根據定理8.2.2和定理8.2.3獲得。而且最爲重要的一點是，要知道一個整數可以被分解爲素數冪乘積來表示。

1）當n=1時，顯然命題是成立的。
2）當$n\ge3$時，n可以做如下表示:
$n=p_1^{\alpha1}p_2^{\alpha2}...p_N^{\alpha N}$
令$n_1=p_1^{\alpha1}$，以此類推。
則由定理8.2.2可得
對於$n_1=p_1^{\alpha1}$來說，存在$n_1-1$個相互正交的$n_1$階拉丁方
…
對於$n_N=p_N^{\alpha N}$來說，存在$n_N-1$個相互正交的$n_N$階拉丁方
因此，令$k=min\{n_1,n_2,...,n_N\}-1\ge2$
由定理8.2.3可知，一定能構造至少k個n階正交拉丁方。

綜上所述，得證。

另一個比較像的題目是若n能被4整除，則必存在一對正交的n階拉丁方。
解題思路也類似，只需要令$p_1=2,\alpha_1\ge2$即可得證。

4.小結

本節我們主要介紹了拉丁方與H矩陣的相關題目解答，尤其是拉丁方的答案，全網很難搜到，自己整理並推理得出，完全原創。解題的關鍵還是在於靈活運用定理及其證明過程。