這一章，我們將介紹Hardmard矩陣作爲組合矩陣的一個例子的3個方面：
- 什麼是Hardmard矩陣？
- Hardmard矩陣的一些性質
- n階Hardmard矩陣的存在性
1.什麼是Hardmard矩陣
這是什麼意思呢，翻譯過來就是如果一個矩陣同行的內積（自己的平方和）爲m，而不同行的內積爲0（正交），則這個矩陣就是H矩陣。
那麼這種矩陣有沒有更加規範的統一的標準呢？有的，這種矩陣叫做正規化矩陣。
爲什麼會有定義7.2.2和命題7.2.1呢？其實我們還是知道所謂的行列變換就是左乘右乘一個矩陣，如果這個矩陣的元素只有0，+1，-1，則變換後仍然會是H矩陣。（爲什麼？因爲就像剛纔說的，自己的平方和不會因爲±1而變化），下面給出證明：
2. n階Hardmard矩陣的存在性
是不是所有階的H矩陣都存在呢？並不是，尤其是連3階H矩陣都不存在，這讓H矩陣的階的範圍大大縮小。
因此，只能保守的有以下命題（注意不是定理），作爲m階H矩陣存在的必要條件，並給出證明：
2.2 直積構造更高級的H矩陣
這裏介紹一種構造更高級的H方陣的方法——直積：
具體方法就是將B乘到A的每個元素上。
爲啥這樣可以呢？下面給出定理：
在證明這個定理之前，我們要知道，H矩陣也是矩陣，因此它也滿足矩陣的運算方法：
然後我們再給出證明：
3. Hardmard矩陣的一些性質
3.1 預備知識（有限域）
我們首先準備一些知識，可以使得下面的證明更加容易。
特徵P和X(x)的特徵是不一樣的，後者稱爲一種映射更爲適合。這裏還是有一個預備知識，那就是有限域的x爲平方數和非平方數的數量一致。
因此有下面的引理：
下面給出證明：
這樣，就可以推出以下的內容：
下面介紹另一個引理，並給出證明：
這兩個引理好像沒啥用，但是在接下里的定理都有直接或者間接的使用。這和我們寫代碼是一樣的，提前造好輪子，方便後來的使用。正所謂，若要善其事，必先利其器。
3.2 q階矩陣的q爲除4餘3構造H矩陣
這裏介紹一個特定的q階矩陣（這個矩陣），構造出一個q+1階（除4餘0）的H階矩陣。
這裏會有神奇的Q矩陣，注意這裏的Q矩陣是之前引理裏的Q矩陣，它具備一定的性質的，因此才能得出上圖的式子，下面給出證明：
上面H這種特殊的矩陣，被稱爲是I型的矩陣，下面給出定義：
3.3若h階H矩陣存在時（h爲偶數），如果q爲除4餘1，則存在hq階的H矩陣
同樣的，在介紹這個定理的時候，我們先介紹兩個引理：
這兩個引理的證明比較簡單，7.2.3就將K帶入，並利用矩陣的運算法則進行運算即可；7.2.4的證明方法與定理7.2.2類似，因此我們不進行證明了。我們來看要證明的定理：
下面給出證明：
3.4由n階的I型的H矩陣構造出n(n-1)階H矩陣和n(n+3)矩陣
同樣的，我們首先給出4個引理，證明我們這裏省去。
最後這一個不得不提一下，因爲它也是一個構造高階矩陣的方法，下面給出證明：
下面我們給出定理及其證明：
3.5 和2個n階H矩陣相關的定理
上面都是介紹一個n階H矩陣推出高階矩陣的方法，下面介紹2個和兩個n階H矩陣相關的定理。
下面給出證明：
下面給出證明：
4. 小結
本章主要介紹和Hardmard矩陣（哈達瑪矩陣）的一些相關的定義、性質以及構造高階哈達瑪矩陣的方法。值得注意的是，我們所有的構造高階的哈達瑪矩陣的方法有兩種，一種是像直積這樣，使用運算直接得出，另一種則蘊含在證明之中，使用的是已知矩陣構造而出的，需要多加註意。