這次，我們講一講拉丁方和正交拉丁方，相關性質及其應用。
1. 拉丁方及正交拉丁方
拉丁方指的是一種 n × n 的方陣，在這種 n ×n 的方陣裏，恰有 n 種不同的元素，每一種不同的元素在同一行或同一列裏只出現一次。換種形式的說法，就是數獨。
如果形式化表達，就是下面的定義：
一個拉丁方似乎沒什麼難理解的，當有兩個拉丁方時，就有一個比較重要的概念，那就是正交拉丁方。我們先來說一下數學上的形式化表示：
然後，我們再看一個例子：
兩個拉丁方有一種關係叫做正交，但並不是所有的一對拉丁方就都是正交的。那麼是不是所有階的拉丁方都存在正交關係呢？或者n階拉丁方最多會有多少組正交拉丁方呢？
2.正交拉丁方的性質
在解答這些問題之前，首先先做一些知識儲備。我們都知道矩陣都是有恆等變換的，拉丁方是方陣，一組正交拉丁方也一定存在一些恆等變換規則的。
這些操作的目的最終就是構建一個出規範化的拉丁方，也就是拉丁方陣的標準型：當一個拉丁方陣的第一行與第一列的元素按順序排列時，此爲這個拉丁方陣的標準型。例如下面這個3階的拉丁方的標準型：
我們先給出它的證明，然後再給出一組正交拉丁方的規範化過程，一組正交拉丁方規範化只能保證每一個拉丁方的第一行都是按照從小到大排序。
上面的說法也就是說，我們所有的置換也好，行列交換也罷，他們都是一個整體變換，就相當於是一個整體映射，只要是整體變換，那麼他們元素本身就不會有衝突，也就是仍然保持正交。下面是完整的3個4階正交拉丁方的規範化過程：
那麼n階的拉丁方的正交拉丁方族會有多少個元素呢？答案如下：
也就是說，最多有n-1個相互正交的n階拉丁方，下面給出證明。
這裏指的是做置換，讓1->3,3->2,2->1。這n-1個正交拉丁方稱爲正交拉丁方完備組。那麼如何構造正交方拉丁完備組呢？我們首先來說明一下幾階的正交拉丁方完備組存在。
首先我們應該知道，那就是6階的正交拉丁方是不存在大，那麼這個怎麼證明呢？如果我們能構造出n階的正交拉丁方完備組，那麼不就證明了存在麼？我們敏銳的發現這裏的約束和有限域的特徵的約束很像，因此使用有限域構造。
這裏還是要補充一下有限域的一些基本知識，儘管補充的知識看似沒什麼用。
當集合F的元素個數有限時，稱爲有限域。這樣，就有了以下的方法構造：
我們先對這個定義進行證明：
3. 構造正交拉丁方完備組
3.1使用有限域進行正交拉丁方完備組的構造
然後，我們給出兩個例子來介紹如何使用這方法進行構造，先來一個簡單的3階正交拉丁方完備組。
這兩個表格裏的數字都是要經過取mod(3)運算的，例如2·2=1的原因就是mod(3)了，下面給出一個複雜的5階的拉丁方。
3.2使用低階正交拉丁方構造高階正交拉丁方
通過上面的例子我們就可以看出，其實任意的素數階的拉丁方我們都可以使用對應有限域來進行構造。當然，還可以由低階的正交拉丁方構造出高階的拉丁方。
下面給出定理的證明：
下面給出一個例子：
4.拉丁方及正交拉丁方的應用
下面我們講講3個應用:
如果複雜的話，是下面的例子：
下面有一個失敗的歷史例子：
據說普魯士的腓特列大帝曾組成一支儀仗隊，儀仗隊共有36名軍官，來自6支部隊，每支部隊中，上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望這36名軍官排成6×6的方陣，方陣的每一行，每一列的6名軍官來自不同的部隊並且軍銜各不相同。令他惱火的是，無論怎麼絞盡腦汁也排不成。
後來，他去求教瑞士著名的大數學家歐拉。歐拉發現這是一個不可能完成的任務。
來自n個部隊的n種軍銜的n×n名軍官，如果能排成一個正方形，每一行，每一列的n名軍官來自不同的部隊並且軍銜各不相同，那麼就稱這個方陣叫正交拉丁方陣。歐拉猜測在n=2,6,10,14,18,…時，正交拉丁方陣不存在。然而到了上世紀60年代，人們用計算機造出了n=10的正交拉丁方陣，推翻了歐拉的猜測。現在已經知道，除了n=2,6以外，其餘的正交拉丁方陣都存在，而且有多種構造的方法。