2.8 矩陣的等價、合同、相似

	等價	合同	相似
定義	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 爲 $m \times n$ 矩陣，存在可逆矩陣 $\boldsymbol{P},\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 爲 $n$ 階方陣，存在可逆矩陣 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 爲 $n$ 階方陣，存在可逆矩陣 $\boldsymbol{P}$，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$
記作	$\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$
變換	$\boldsymbol{A}$ 經過有限次初等變換得 $\boldsymbol{B}$	”線形變換“
充要條件	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B}$ $q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B}$ $q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$ $\lambda_\boldsymbol{A}=\lambda_\boldsymbol{B}$ $\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ $tr(\boldsymbol{A}) = tr(\boldsymbol{B})$
標準形	$\begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_{r(\boldsymbol{A})} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \end{bmatrix}$（唯一）

• 相似矩陣必爲等價矩陣，等價矩陣未必爲相似矩陣，滿足 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E}$ 的等價矩陣是相似矩陣。

• 合同矩陣必爲等價矩陣，等價矩陣未必爲合同矩陣，滿足 $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B},q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$ 的等價矩陣是合同矩陣。

• 相似矩陣未必合同，合同矩陣未必相似。

• 正交相似矩陣必合同，正交合同矩陣必相似。

• 實對稱矩陣相似必合同，實對稱矩陣合同未必相似。

判斷兩個矩陣是否相似、合同、等價❓

P214：9.26、9.27、9.28

References

• 矩陣的等價，相似，合同