2.8 矩阵的等价、合同、相似

	等价	合同	相似
定义	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 矩阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P},\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$
记作	$\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$	$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$
变换	$\boldsymbol{A}$ 经过有限次初等变换得 $\boldsymbol{B}$	”线形变换“
充要条件	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B}$ $q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$	$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$ $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B}$ $q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$ $\lambda_\boldsymbol{A}=\lambda_\boldsymbol{B}$ $\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ $tr(\boldsymbol{A}) = tr(\boldsymbol{B})$
标准形	$\begin{bmatrix} \boldsymbol{E}_{r(\boldsymbol{A})} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \end{bmatrix}$（唯一）

• 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵，满足 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E}$ 的等价矩阵是相似矩阵。

• 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵，满足 $p_\boldsymbol{A}=p_\boldsymbol{B},q_\boldsymbol{A}=q_\boldsymbol{B}$ 的等价矩阵是合同矩阵。

• 相似矩阵未必合同，合同矩阵未必相似。

• 正交相似矩阵必合同，正交合同矩阵必相似。

• 实对称矩阵相似必合同，实对称矩阵合同未必相似。

判断两个矩阵是否相似、合同、等价❓

P214：9.26、9.27、9.28

References

• 矩阵的等价，相似，合同