2.3 特殊矩陣

• 零矩陣：所有元素均爲 $0$ 的矩陣，記作 $\boldsymbol{0}$。
• 單位矩陣：主對角線元素均爲 $1$，其餘元素全爲 $0$ 的 $n$ 階方陣，稱爲 $n$ 階單位矩陣，記作 $\boldsymbol{E}$。
  單位矩陣和任何同階方陣可交換。
• 對角矩陣：非主對角線元素均爲 $0$ 的矩陣稱爲對角矩陣。
• 上（下）三角矩陣：當 $i>(<)j$ 時，$a_{ij}=0$ 的矩陣稱爲上（下）三角矩陣。
• 對稱矩陣：$\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A} \leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}$
• 反對稱矩陣：$\boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A} \leftrightarrow \begin{cases} a_{ii} = 0\\ a_{ij} = -a_{ji},i \ne j \end{cases}$
• 正交矩陣：設 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 階方陣，滿足 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，則稱 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩陣。
  $\boldsymbol{A}$ 是正交矩陣 ↔️ $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ↔️ $\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}^{-1}$ ↔️ $\boldsymbol{A}$ 的行（列）向量組是標準正交向量組。