1 行列式

1 定義

• 二階行列式是由兩個 $2$ 維向量組成的，其結果爲以這兩個向量爲鄰邊的平行四邊形的面積。
• 三階行列式是由三個 $3$ 維向量組成的，其結果爲以這三個向量爲鄰邊的平行六面體的體積。
• $n$ 階行列式是由 $n$ 個 $n$ 維向量組成的，其結果爲以這 $n$ 個向量爲鄰邊的 $n$ 維圖形的體積。

2 性質

1. 行列互換值不變，即 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^T \end{vmatrix}$。
2. 行列式中某行元素全爲零，則行列式爲零。
3. 行列式中兩行（列）元素相等或成比例，則行列式爲零。
4. 行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k \ne 0)$，則 $k$ 可提到行列式外面，即 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$（從右到左的運算爲“倍乘”性質）。
5. 行列式中某行（列）的 $k$ 倍加到令一行（列），行列式的值不變。（“倍加”性質）
6. 行列式中兩行（列）互換，行列式的值反號。（”互換“性質）
7. 行列式中某行（列）元素均是兩個元素之和，則可拆成兩個行列式之和，即 $k(k \ne 0)$，則 $k$ 可提到行列式外面，即 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$。

3 展開定理

• 行列式的值等於行列式的某行（列）元素分別乘其相應的代數餘子式再求和。
• 行列式的某行（列）元素分別乘令一行（列）元素的代數餘子式後再求和，結果爲零。

4 計算

4.1 行列式的計算

核心思想：展開最特殊的一行（列）

• 主對角線行列式
• 副對角線行列式
• 爪形行列式 $\rightarrow$ 主對角線行列式
• 元素間成比例：將第 $i + 1$ 行乘以 $-a$ 加到第 $i$ 行
• 循環行列式 $\rightarrow$ 主對角線行列式（加到第一列，減去第一行）
• 拉普拉斯展開式
• 範德蒙德行列式
• 加邊：主對角線爲兩數之和
• 數學歸納法
  • 第一類歸納法
  • 第二類歸納法

4.2 代數餘子式的計算

$a_{i1}\boldsymbol{A}_{i1} + a_{i2}\boldsymbol{A}_{i2} + \cdots + a_{in}\boldsymbol{A}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

$k_{1}\boldsymbol{A}_{i1} + k_{2}\boldsymbol{A}_{i2} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{A}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

$k_{1}\boldsymbol{M}_{i1} + k_{2}\boldsymbol{M}_{i2} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{M}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ (-1)^{i+1}k_{1} & (-1)^{i+2}k_{2} & \cdots & (-1)^{i+n}k_{n} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

4.3 抽象型行列式的計算

向量線性組合 $\rightarrow$ 矩陣乘積（列向量組在前，係數矩陣在後）