1 行列式

1 定义

• 二阶行列式是由两个 $2$ 维向量组成的，其结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。
• 三阶行列式是由三个 $3$ 维向量组成的，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。
• $n$ 阶行列式是由 $n$ 个 $n$ 维向量组成的，其结果为以这 $n$ 个向量为邻边的 $n$ 维图形的体积。

2 性质

1. 行列互换值不变，即 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^T \end{vmatrix}$。
2. 行列式中某行元素全为零，则行列式为零。
3. 行列式中两行（列）元素相等或成比例，则行列式为零。
4. 行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k \ne 0)$，则 $k$ 可提到行列式外面，即 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$（从右到左的运算为“倍乘”性质）。
5. 行列式中某行（列）的 $k$ 倍加到令一行（列），行列式的值不变。（“倍加”性质）
6. 行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。（”互换“性质）
7. 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即 $k(k \ne 0)$，则 $k$ 可提到行列式外面，即 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$。

3 展开定理

• 行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式再求和。
• 行列式的某行（列）元素分别乘令一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为零。

4 计算

4.1 行列式的计算

核心思想：展开最特殊的一行（列）

• 主对角线行列式
• 副对角线行列式
• 爪形行列式 $\rightarrow$ 主对角线行列式
• 元素间成比例：将第 $i + 1$ 行乘以 $-a$ 加到第 $i$ 行
• 循环行列式 $\rightarrow$ 主对角线行列式（加到第一列，减去第一行）
• 拉普拉斯展开式
• 范德蒙德行列式
• 加边：主对角线为两数之和
• 数学归纳法
  • 第一类归纳法
  • 第二类归纳法

4.2 代数余子式的计算

$a_{i1}\boldsymbol{A}_{i1} + a_{i2}\boldsymbol{A}_{i2} + \cdots + a_{in}\boldsymbol{A}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

$k_{1}\boldsymbol{A}_{i1} + k_{2}\boldsymbol{A}_{i2} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{A}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

$k_{1}\boldsymbol{M}_{i1} + k_{2}\boldsymbol{M}_{i2} + \cdots + k_{n}\boldsymbol{M}_{in} = \begin{vmatrix} & & \vdots & \\ (-1)^{i+1}k_{1} & (-1)^{i+2}k_{2} & \cdots & (-1)^{i+n}k_{n} \\ & & \vdots & \\ \end{vmatrix}$

4.3 抽象型行列式的计算

向量线性组合 $\rightarrow$ 矩阵乘积（列向量组在前，系数矩阵在后）