3.7 向量空間（數學一）

1 基本概念

若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $n$ 維向量空間 $\boldsymbol{R}^n$ 中的線形無關的有序向量組，則任一向量 $\boldsymbol{\alpha} \in \boldsymbol{R}^n$ 均可由 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 線性表出，記表出式爲 $\boldsymbol{\alpha} = a_1\boldsymbol{\xi}_1+a_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+a_n\boldsymbol{\xi}_n$，稱有序向量組 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 的一個基，基向量的個數 $n$ 稱爲向量空間的維數，而 $\begin{bmatrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{bmatrix}(\begin{bmatrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{bmatrix}^T)$ 稱爲向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的座標。

2 基變換

若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 和 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 中的兩個基，且有關係 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}$，稱爲由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的基變換公式，矩陣 $\boldsymbol{C}$ 稱爲由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的過渡矩陣，$\boldsymbol{C}$ 的第 $i$ 列即是 $\boldsymbol{\eta}_i$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的座標列向量，且過渡矩陣 $\boldsymbol{C}$ 是可逆矩陣。

3 座標變換

• 設 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 和基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 下的座標分別是 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1,x_2,\cdots,x_n \end{bmatrix}^T,\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} y_1,y_2,\cdots,y_n \end{bmatrix}^T$，即 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{y}$。
• 又基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的過渡矩陣爲 $\boldsymbol{C}$，即 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}$，則 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C}\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$ 或 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{x}$，稱爲座標變換公式。