3.7 向量空间（数学一）

1 基本概念

若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $n$ 维向量空间 $\boldsymbol{R}^n$ 中的线形无关的有序向量组，则任一向量 $\boldsymbol{\alpha} \in \boldsymbol{R}^n$ 均可由 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 线性表出，记表出式为 $\boldsymbol{\alpha} = a_1\boldsymbol{\xi}_1+a_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+a_n\boldsymbol{\xi}_n$，称有序向量组 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 的一个基，基向量的个数 $n$ 称为向量空间的维数，而 $\begin{bmatrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{bmatrix}(\begin{bmatrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{bmatrix}^T)$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的座标。

2 基变换

若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 和 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 是 $\boldsymbol{R}^n$ 中的两个基，且有关系 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}$，称为由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的基变换公式，矩阵 $\boldsymbol{C}$ 称为由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的过渡矩阵，$\boldsymbol{C}$ 的第 $i$ 列即是 $\boldsymbol{\eta}_i$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的座标列向量，且过渡矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是可逆矩阵。

3 座标变换

• 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 和基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 下的座标分别是 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} x_1,x_2,\cdots,x_n \end{bmatrix}^T,\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} y_1,y_2,\cdots,y_n \end{bmatrix}^T$，即 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{y}$。
• 又基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 到基 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{C}$，即 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}$，则 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n \end{bmatrix}\boldsymbol{C}\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$ 或 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{x}$，称为座标变换公式。