3.6 特徵值和特徵向量

1 基本概念

設 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 階矩陣， $\lambda$ 是一個數，若存在 $n$ 維非零列向量 $\xi \ne 0$ 使得 $\boldsymbol{A\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi}$ ，則稱 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特徵值， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量。
$(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0}$ ，因 $\boldsymbol{\xi} \ne 0$ ，故 $\boldsymbol{A}$ 的特徵方程（未知量爲 $\lambda$ 的 $n$ 次方程，有 $n$ 個根（重根按重數計））爲
$\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{1n}\\ \end{vmatrix} =0$
$\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 稱爲特徵矩陣， $\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \end{vmatrix}$ 稱爲特徵多項式。

設 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n \times n}$ ， $\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特徵值，則：
- $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$
- $\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}$
應用： $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 階矩陣，若 $r(\boldsymbol{A})=1$ ，則 $\boldsymbol{A}$ 的特徵值爲： $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0,\lambda_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$ 。

$k$ 重特徵值 $\lambda$ 至多有 $k$ 個線性無關的特徵向量；
設 $\lambda_1,\lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的兩個不同的特徵值，若 $\boldsymbol{\xi}$ 是對應於 $\lambda_1$ 的特徵向量，則 $\boldsymbol{\xi}$ 不是 $\lambda_2$ 的特徵向量（即一個特徵向量不能屬於兩個不同的特徵值）;
若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的屬於不同特徵值 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特徵向量，則 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$ 線性無關；
若 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的屬於相同特徵值 $\lambda$ 的特徵向量，則 $k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2$ （ $k_1,k_2$ 不同時爲 0️⃣）仍是 $\boldsymbol{A}$ 的屬於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量；
設 $\boldsymbol{A}$ 爲 $n$ 階矩陣， $\boldsymbol{A\xi_1}=\lambda_1\boldsymbol{\xi_1},\boldsymbol{A\xi_2}=\lambda_2\boldsymbol{\xi_2},\lambda_1 \ne \lambda_2,\boldsymbol{\xi}_1 \ne 0,\boldsymbol{\xi}_2 \ne 0$ ，則當 $k_1 \ne 0,k_2 \ne 0$ 時， $k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特徵向量。

矩陣	特徵值	特徵向量
$\boldsymbol{A}$	$\lambda$	$\boldsymbol{\xi}$
$k\boldsymbol{A}$	$k\lambda$	$\boldsymbol{\xi}$
$\boldsymbol{A}^k$	$\lambda^k$	$\boldsymbol{\xi}$
$\boldsymbol{A}^T$	$\lambda$	不是 $\boldsymbol{\xi}$ ，需單獨計算
$\boldsymbol{A}^{-1}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\boldsymbol{\xi}$
$\boldsymbol{A}^*$	$\frac{\begin{vmatrix}\boldsymbol{A}\end{vmatrix}}{\lambda}$	$\boldsymbol{\xi}$
$n\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$	$n+\lambda$	$\boldsymbol{\xi}$
$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$	$\lambda$	$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\xi}$
$f(\boldsymbol{A})$	$f(\lambda)$	$\boldsymbol{\xi}$

$f(x)$ 爲多項式，若矩陣 $\boldsymbol{A}$ 滿足 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{0}$ ， $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的任一特徵值，則 $\lambda$ 滿足 $f(\lambda)=0$ 。

$\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \end{vmatrix}$ ➡️ $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 具有相同的特徵值
若 $\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}$ ，則 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 有相同的特徵值。
若 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 是實對稱矩陣，則 $\boldsymbol{AB}$ 和 $\boldsymbol{BA}$ 有相同的特徵值。
若 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩陣，則 $\boldsymbol{AB}$ 和 $\boldsymbol{BA}$ 有相同的特徵值。