數據結構 第9講 數組與廣義表
數組是由相同類型的數據元素構成的有序集合。
一維數組看一看作一個線性表，例如：
圖1一維數組
二維數組也可以看作一個線性表，例如：
圖2二維數組（按列序）
是不是可以看作一個線性表X=(X0，X1，X2，…，Xn-1)？只不過每一個數據元素Xi也是一個線性表。
那麼，橫看成嶺側成峯：
圖3二維數組（按行序）
也可以看作一個線性表Y=(Y0，Y1，Y2，…，Ym-1)？只不過每一個數據元素Yi也是一個線性表。
數組一般採用順序存儲結構，因爲存儲單元是一維的，而數組可以是多維，如何用一組連續的存儲單元來存儲多維數組呢？以二維數組爲例，可以按行序存儲，即先存第一行，再存第二行，…；也可以按列序存儲，先存第一列，再存第二列，…；現在比較流行的C語言，Java都是按行序存儲的。
如果按行序存儲，怎麼找到aij的存儲位置呢？
先看看在存儲aij之前，前面已經存儲了多少個元素：
圖4二維數組（按行序存儲）
從圖4可以看出，在aij之前一共有i*n+j個元素，如果每個元素用L個字節，那麼需要(i*n+j)*L個字節，只需要用基地址加上這些字節就可以得到aij的存儲位置了。
按行序存儲，aij的存儲位置：
LOC(a00)表示第一個元素的存儲位置，即基地址，LOC(aij)表示aij的存儲位置。
授人以魚不如授人以漁，告訴你記住公式，就像送你一條魚，不如交給你捕魚的祕籍！
存儲位置計算祕籍：aij的存儲位置等於矩陣第一個元素的存儲位置，加上前面的元素個數*每個元素佔的空間數。
如果按列序存儲，怎麼找到aij的存儲位置呢？
先看看在存儲aij之前，前面已經存儲了多少個元素：
圖5二維數組（按列序存儲）
從圖5可以看出，在aij之前一共有j*m+i個元素，如果每個元素用L個字節，那麼需要(j*m+i)*L個字節，只需要用基地址加上這些字節就可以得到aij的存儲位置了。
按列序存儲，aij的存儲位置：
LOC(a00)表示第一個元素的存儲位置，即基地址，LOC(aij)表示aij的存儲位置。
需要特別注意：二維數組的下標是從1開始的，那麼畫風就變了～～～
在很多科學工程計算問題中，經常遇到一些階數很高的矩陣，而且這些矩陣的很多值是相同的，有的還有很多元素是0，爲了節省空間，可以對這類矩陣進行壓縮存儲。
什麼是壓縮存儲？
把多個相同的元素分配一個存儲空間，元素爲0的不分配空間。
什麼樣的矩陣能夠壓縮？
一些特殊矩陣，如：對稱矩陣，對角矩陣，三角矩陣，稀疏矩陣等。
什麼叫稀疏矩陣？矩陣中非零元素的個數較少，怎樣纔算是較少呢？一般認爲非零元素個數小於5%的矩陣爲稀疏矩陣。
下面介紹幾種特殊矩陣的壓縮存儲方式：
1.對角矩陣
對角矩陣是指在n´n的矩陣中，非零元素集中在主對角線及其兩側共L(奇數)條對角線的帶狀區域內—L對角矩陣。如圖13所示。
圖13 5對角矩陣
很明顯，L對角矩陣的帶寬爲L，半帶寬d=(L-1)/2，例如5對角矩陣，半帶寬d=2。當|i-j|>d時，aij=0。當|i-j|<=d時，aij≠0，爲對角矩陣的帶狀區域元素。
那麼L對角矩陣一共有多少個非零元素呢？
首先將每一行以對角線爲中心，補零，讓每一行都達到L個元素，如圖14所示。一共補了多少個零呢？第一行補d，第二行補d，…，1，左上角補零個數爲d (d+1)/2，同理，右下角補零個數也爲d (d+1)/2，總的補零個數爲d (d+1)，那麼每行按L個元素計算，再減去補零元素個數即可。即帶狀區域元素個數爲：L*n-d (d+1)，因爲d=(L-1)/2，即L=2d+1，所有帶狀區域元素個數也可以表達爲：(2d+1)*n-d (d+1)。
圖14 5對角矩陣
那麼，補零後每行都有L個元素，需要L*n個空間。爲了節省空間，第一行前面和最後一行後面的d個0可以不存儲，即"掐頭去尾"，即需要L*n-2d個空間。如圖15所示，陰影部分就是要存儲的元素。
圖15 5對角矩陣（掐頭去尾）
如果按行序，用一維數組（下標從零開始）存儲L對角矩陣。
怎麼找到aij的存儲位置呢？
首先找到aii的存儲位置，因爲aii是對角線上的元素，以對角線爲中心，左右兩側都是d個元素，如圖16所示。因此aii之前有i-1行，每行L個元素，aii所在行左側有d個元素，如圖15所示。因此aii之前有(i-1)*L+d個元素，因爲第一行前面的d個0"掐頭去尾"沒有存儲，所以aii之前有(i-1)*L個元素。aii的存儲位置爲：(i-1)*L。而aij和aii相差j-i個元素，也就是說，aij的存儲位置爲：(i-1)*L+j-i。
圖16對角矩陣存儲（按行序）
總結公式：
按行序，用一維數組（下標從零開始）存儲L對角矩陣，aij的存儲位置：
例如：3對角矩陣，L=3，得到3對角矩陣中aij的存儲位置：k=3(i-1)+j-i=2i+j-3，同樣，5對角矩陣中aij的存儲位置：k=5(i-1)+j-i=4i+j-5。
如果一維數組的下標從1開始，公式後面再+1即可。
對角矩陣還有一種按對角線的順序存儲方式，如圖17所示：
圖17 5對角矩陣
即對角線作爲0行，左側分別爲1，2，…，d行，右側分別爲-1，-2，…，-d行，列值不變，相當於轉換爲L×n的矩陣，如圖18所示：
圖18 5對角矩陣存儲（按對角線）
那麼圖18中(b)矩陣，其它位置補零，用一維數組（下標從零開始）按行存儲，aij之前有iˊ+d行，aij所在行前面有j-1個元素，因此下標爲：
2. 稀疏矩陣
稀疏矩陣是指非零元素個數較少，且分佈沒有規律可言，那麼少到什麼程度纔算稀疏呢？一般認爲非零元素小於5%時，屬於稀疏矩陣，當然也沒那麼絕對噢。如圖19所示。
圖19 稀疏矩陣
稀疏矩陣如何存儲呢？
爲了節省空間，只需要記錄每個非零元素的行、列和數值即可。這就是三元組存儲法。如圖20所示。
圖20 稀疏矩陣三元組存儲
廣義表：
廣義表是線性表的推廣，也稱爲列表。它是n(n³0)個表元素組成的有限序列，記作LS= (a0, a1, a2, …,an-1)，LS是表名，ai是表元素，它可以是表 (稱爲子表)，可以是數據元素(稱爲原子)。n爲表的長度。n=0的廣義表爲空表。
廣義表最常見就是求表頭、表尾。
表頭GetHead(L)：非空廣義表的第一個元素，可以是一個單元素，也可以是一個子表。
表尾GetTail(L)：非空廣義表刪除表頭元素後餘下元素所構成的表。表尾一定是一個表。
例如D=(a,(b),(a,(b,c,d)))，表長爲，表頭爲a，表尾爲( (b),(a,(b,c,d)))。如圖21所示。
圖21 廣義表
