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Problem Description
Input
Output
Sample Input
1 2 3 4
Sample Output
0 4 26 92
Source
Manager
又是數學題，好吧，我承認刷ACdream數學題提高了不少。碰到這種題目，第一反應，毫無疑問，打暴力程序找規律。於是就有了最初始的暴力程序：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))
#define INF 1e9
typedef long long ll;
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n;
int a[1000][1000];
int cal(int x,int y){
int i,j;
int res=0;
rep(i,n)
rep(j,n)
if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;
return res;
}
int main()
{
int i,j;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
MM(a,0);
int res=0;
rep(i,n)
rep(j,n){
a[i][j]=cal(i,j);
res+=a[i][j];
}
rep(i,n){
rep(j,n) cout<<setw(4)<<a[i][j];
cout<<'\n';
}
cout<<"Res= "<<res<<'\n';
}
return 0;
}以n=10爲例的結果是這樣的：
10
45 37 31 27 25 25 27 31 37 45
53 44 38 34 32 32 34 38 44 53
59 50 43 39 37 37 39 43 50 59
63 54 47 42 40 40 42 47 54 63
65 56 49 44 41 41 44 49 56 65
65 56 49 44 41 41 44 49 56 65
63 54 47 42 40 40 42 47 54 63
59 50 43 39 37 37 39 43 50 59
53 44 38 34 32 32 34 38 44 53
45 37 31 27 25 25 27 31 37 45
Res= 4380
這些數字乍看之下毫無規律可言，但可以發現它整體是中心對稱的，再來仔細考慮下條件abs(x1 - x2) < abs(y1 - y2)，對於一個點來說，符合條件的點也是中心對稱的，具體應該是當x2==x1時的那一條線和這個點的左上左下右上右下分佈着符合條件的點，我們不妨把暴力程序改變一下，如：
if(y!=j && abs(x-i)<abs(y-j)) res++;if中加個條件爲x==i就會有了美如畫的一個結果：
10
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Res= 900
這個900在最終結果中是隻佔一個的，而且可以看出它=n*n*（n-1）
接着在改把x==i && y!=j改爲 x>i && y>j
又會發現：
10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 1 3 5 7 9 11 13 15
0 0 1 3 6 9 12 15 18 21
0 0 1 3 6 10 14 18 22 26
0 0 1 3 6 10 15 20 25 30
0 0 1 3 6 10 15 21 27 33
0 0 1 3 6 10 15 21 28 35
0 0 1 3 6 10 15 21 28 36
0 0 1 3 6 10 15 21 28 36
Res= 870
可以發現870*4+900=4380 所以本題關鍵點在於求這個四分之一點的總和，看最後一行的總和是等差數列和的累加和，然後從倒數第三行看起每行比最後一行少個等差數列和的累加和，因爲N有1e9之大，所以我們必須求出等差數列和的累加和的通項公式，以及等差數列和的累加和的累加和的通項公式。
a(n)=n(n+1)/2+a(n-1)這是遞推公式，發揮你在高中學過的知識把a(n)的通項公式和S(n)的通項公式給求出來吧。
不過在解這個方程前你得先知道平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6 立方和公式 n*n(n+1)(n+1)/4；
經過一系列複雜的計算可以得到兩個美如畫的公式：
等差數列和累加和 a(n)=n(n+1)(n+2)/6 S(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)/24 全部總的和的公式也可以得到爲：
Res=4*((n-1)*a(n-2)-S(n-3))+(n-1)*n*n 最後結果是要mod 1e9+7的，但是mod的過程中是不能除的，不然就會丟失精確數據，但凡除的必須在原數據中把除法搞定，所以對於a(n)中的n,n+1,n+2來說，能除以2,3（6的約數）的就直接除了，S(n)類似。
總程序：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<fstream>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))
#define INF 1e9
typedef long long ll;
#define mdu 1000000007
using namespace std;
ll n;
ll funa(ll x){
ll t[4]={x,x+1,x+2,1};
ll chu[2]={2,3};
int i=0,j=0;
while(i<3 && j<1){
if(t[i]%chu[j]==0) {
t[i]/=chu[j];
j++;
}
else i++;
}
i=0;
while(i<3 && j<2){
if(t[i]%chu[j]==0) {
t[i]/=chu[j];
j++;
}
else i++;
}
t[3]=t[0];
for(i=1;i<3;i++) t[3]=(t[3]*t[i])%mdu;
return t[3];
}
ll funs(ll x){
ll t[5]={x,x+1,x+2,x+3,1};
ll chu[4]={2,2,2,3};
int i=0,j=0;
while(i<4 && j<3){
if(t[i]%chu[j]==0) {
t[i]/=chu[j];
j++;
}
else i++;
}
i=0;
while(i<4 && j<4){
if(t[i]%chu[j]==0) {
t[i]/=chu[j];
j++;
}
else i++;
}
t[4]=t[0];
for(i=1;i<4;i++) t[4]=(t[4]*t[i])%mdu;
return t[4];
}
int main()
{
int i,j;
ll res;
while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
switch(n){
case 1:cout<<0<<'\n'; continue;
case 2:cout<<4<<'\n'; continue;
case 3:cout<<26<<'\n'; continue;
default:
ll t1=funa(n-2);
t1=(n-1)*t1%mdu;
ll t2=funs(n-3);
if(t1>t2) t1-=t2;
else t1=t1+mdu-t2;
t1=4*t1%mdu;
t1=(t1+(n*n%mdu)*(n-1)%mdu)%mdu;
res=t1;
}
cout<<res<<'\n';
}
return 0;
}
