-潘宏
-2009.12.31
-本人水平有限，疏忽錯誤在所難免，還請各位數學高手、編程高手不吝賜教
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一些網友寫信給我希望能夠了解固定流水線中世界空間到相機空間變換矩陣的具體推導過程。其實之前我在《向量幾何在遊戲編程中的使用6》中已經簡單的把相機變換作爲一個使用基理論的例子進行了說明，但可能仍然不夠具體。這篇文章中，我會盡力闡述相機變換的整個來龍去脈。希望能夠對正在學習固定流水線的朋友們有所幫助。這裏我們仍然會在推導相機變換之前介紹幾個理論知識，目的是爲了更好的理解推導過程。我們馬上開始！
什麼是相機變換？
在流水線中，當物體從模型座標通過世界矩陣變換到世界空間之後，它將通過相機變換從世界空間變換到相機空間。下圖的固定流水線中，藍色框中的部分就是這個過程。
其實，所謂的相機空間，就是以相機作爲座標原點的一個參考系，所以，從世界空間變換到相機空間，就是把物體從世界座標系，變換到相機爲原點的相機座標系，如下圖所示。
左半部分是小人在世界空間中的位置，右半部分是小人變換到相機空間後的位置。這樣的一個變換可以有很多種方式來實現：歐拉相機系統、UVN系統、Two Points & A Twist等等。這裏我們討論最爲廣泛的UVN系統構建相機矩陣，如果讀者對其他方法感興趣，可以查找相關的資料。我們仍然討論OpenGL的相機矩陣的推導，其他API可以類似的推導。
座標轉換公式
我們在《向量幾何在遊戲編程中的使用6》中提到了正交矩陣，這是在基理論基礎上的一個概念（如果對基理論不是很熟悉，請參考《向量幾何在遊戲編程中的使用6》）。正交矩陣所有列（行）向量構成了一個標準正交基（它的列向量都是互相正交，並且長度爲1），因此，可以把正交矩陣看成是對一個座標系的描述。同時，我們知道：同一個向量，在不同的基下面的座標是不同的。因此，可以用正交矩陣來代表座標系（也可以看作基）從而寫出在統一的參考系（全局座標系）下同一個向量在不同基中的座標。
上面的式子表示，參考系中向量v在基Q中的座標是v’，在基R中的座標是v’’（注意這裏的環境下基矩陣是用列向量表示的，這樣相乘之後的結果表示的是基向量的線性組合）。如下圖，黑色基表示的是參考系，紅色是基Q，藍色是基R，v是參考系中的一個向量。
爲了讓大家更清楚，我舉一個例子：
上式的意思是：參考系中的向量v，在基Q( 1 0 0 ), ( 0 1 0 ), ( 0 0 1)下的座標是( 1 2 6 )，在基R( 0 1 0 ), ( 0 0 1 ), ( 1 0 0 )下的座標是( 2 6 1 )。注意，我們所討論的所有基和向量的關係都只是線性表示的關係，沒有位移關係，因此我們用3D向量表示，而不是4D的齊次表示（如果對齊次座標不是很熟悉，請參考《深入探索透視投影變換》中的齊次座標部分）。
這樣，已知一個基Q和向量v在它之中的座標v’，以及另外一個基R，我們可以通過v=Qv’=Rv’’公式來計算v’’。
上面就是求v’’的公式，注意到右邊需要計算基R的逆矩陣R^-1，因爲基R是正交矩陣，而正交矩陣的一個重要性質就是逆等於轉置。因此，我們可以把它寫成
這個公式就是座標轉換公式。特別地，如果Q是和參考系相同的座標系（3D編程中大多數情況下如此），比如世界座標系，則Q是一個單位矩陣I，則我們可以把它寫成
這個座標轉換公式可以解釋爲：對於世界座標系中的向量v’，它在座標系R中的座標是v’’。我們在後面會用到這個公式。
除了用正交矩陣來闡述座標轉換，我們還可以使用點積所代表的共線程度（colinear amount）來描述座標轉換（André LaMothe的《Tricks Of The 3D Game Programming Gurus》）。這個理論基於點積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的共線程度。比如兩個向量v和s點積
幾何意義就是v在s方向上的投影長和s的長的乘積，或者是s在v方向上的投影長和v的長的乘積（積的符號爲：若v和s的角度小於90度，積爲正，如果是直角，積爲零，否則爲負）。
進一步地，如果v是一個單位向量，則這個點積可以解釋爲s在v方向上的投影長；如果s是一個單位向量，則可以解釋爲v在s方向上的投影長。現在，我們把點積推廣到基的層次上，把一個向量v’和一個基R的三個單位軸向量進行點積，點積得到的三個值則表示這個向量在這個基下的座標v’’
數學表達爲
請注意，爲了讓v’能夠和基的每一個軸向量進行點積，我們必須把基寫成轉置形式，即行向量乘法，否則就變成了線性組合的形式。這個公式的意義就是世界空間中的向量v’和基R的軸向量進行點積從而得到v’在R下的共線程度——座標v’’。這個公式和上面我們得到的座標轉換公式一模一樣。實際上我們是從兩個不同的方向解釋同一個公式，希望你能夠把兩個方向都理解。
UVN系統
UVN系統本身是一個基。如下圖所示，三個基向量U，V，N分別指向相機的右方、上方和後方從而構成右手座標系，相機則處於座標原點。
使用UVN系統可以非常方便的設置相機朝向。它的構建過程如下如所示
在參考系下（這裏是世界座標系），我們給定相機的位置——eye，被觀察的小人的位置——lookat，以及一個輔助向量——參考系中表示“上方”的向量up，這個向量會影響U和V的生成，因爲以後求出的V向量會在up和N向量所決定的平面上（有興趣可以自己證明一下），所以可以通過這個向量讓相機產生不同的偏轉。
首先我們求出向量N
很簡單，用目標位置減去相機的位置，就是圖中的步驟2。第3步，我們求出向量U。這一步需要使用輔助向量up，如果不希望相機產生偏轉，一般取(0, 1, 0)
U使用向量的叉乘實現，就是圖中的步驟3。最後，使用N和U計算出向量V
最後將計算出的U，V和N進行單位化，就得到了相機的UVN系統。結合上面我們談到的座標轉換理論，我們可以把UVN系統看作是相機的基，從而可以方便的把一個向量在世界座標和相機座標進行轉換。
OpenGL的gluLookAt(eyex, eyey, eyez, lookatx, lookaty, lookatz, upx, upy, upz)方法就是使用的上面的步驟進行相機矩陣的設置。它的前三個參數就是相機的位置向量，中間三個參數是所觀察的目標位置向量，最後三個參數就是輔助向量up。
相機矩陣的推導
上面我們已經說明了UVN系統，標準流水線中就是使用了UVN系統來描述相機。U, V, N分別對應相機座標系的三個基向量。
此外，對於一個相機來說，它在開始的時候和世界座標系是重合的，用戶控制相機在世界空間中移動之後，相機的狀態可以用兩個屬性來描述——朝向和位置。也就是說，有了這兩個屬性，一個相機模型在世界中的狀態就確定了。而這兩個屬性，我們用變換的理論來描述，就是旋轉和平移。可以想象，對於世界中的任何一個相機狀態，我們都可以把它看成是：相機先圍繞自身基原點旋轉一定的角度，然後平移到世界空間的某個地方。下圖展示了這個過程
圖中，紅色是相機的基，而黑色是世界的基，也就是參考系。小人是世界中的一個物體。相機在移動之前，兩個基是重合的。當相機在屏幕中定位時，它首先會進行朝向的確定——旋轉，然後進行位置的確定——平移。圖中的Rotation和Translation兩步就是相機定位時所發生的變換。可以看到相機相對於小人的運動。而當進行相機變換的時候，小人應該從世界基變換到相機的基裏面。這樣，他應該進行一個相機定位的逆定位，先逆平移小人和相機，然後再逆旋轉小人和相機，最後相機歸位，小人隨相機變到了相機空間。這是由Inverse Translation和Inverse Rotation兩個步驟完成的，這兩個步驟就是相機變換。現在我們推導這個變換。我們把關係寫出來，相機本身的變換C包括兩個元素
其中T是平移變換，R是旋轉變換。而相機變換是相機本身變換的逆變換
這個C^-1就是我們要求出的相機變換。其中T^-1很容易求出，即
而R^-1就沒有這麼容易求出來了。所以，我們不求它，我們用UVN系統。什麼意思？請看上面的那張相機變換的圖，當相機變換進行完Inverse Translation這一步之後，相機的原點和世界原點就重合了，也就是處理完了關於平移的變換。接下來我們要做的是逆旋轉，而其實逆旋轉的目的，就是要得到目前世界座標中經過逆平移的小人在相機座標系中的座標。是不是似曾相識？我們的座標變換理論就派上用場了。我們回憶上面座標變換的公式
這個座標轉換公式可以解釋爲：對於世界座標系中的向量v’，它在座標系R中的座標是v’’。那麼，我們可以套用在這裏：對於世界座標中的已經經過逆平移的座標v’，它在相機座標系R中的座標是v’’。什麼是相機座標系R？就是我們的相機UVN系統！就是
則相機變換的完整公式就是
這裏，v是小人在世界空間中的座標，v’’是小人在相機空間中的座標。則相機變換矩陣就是
至此，我們就完成了相機矩陣的推導。物體經過這個矩陣就從世界空間變換到了相機空間，等待流水線對它進行投影變換。OpenGL就使用了上面推導出的最後的那個矩陣。希望你能夠理解這個推導過程，如果你有什麼問題或者不同的看法，請一定給我發信J下次見！
