首先是問題描述：給定n種物品和一揹包，物品i的重量是wi，其價值是pi，揹包的容量是M，問如何選擇裝入揹包中的物品總價值最大？
可以這樣理解：揹包的揹負有上限，因此在這個上限內儘可能多的裝東西，並且價值越多越好。
在這裏我之想討論動態規劃解決這個問題的詳細過程。
動態規劃是用空間換時間的一種方法的抽象。其關鍵是發現子問題和記錄其結果。然後利用這些結果減輕運算量。因爲揹包的最終最大容量未知，所以，我們得從1到M一個一個的試，比如，剛開始任選N件物品中的一個，看對應的M的揹包，能不能放進去，如果能放進去，並且還有多少空間，則，多出來的空間能放N-1物品中的最大價值，怎麼能保證總選則是最大價值呢，看下錶：
測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6
動態規劃之０１揹包問題
c[i][j]數組保存了1,2,3號物品依次選擇後的最大價值.
這個最大價值是怎麼得來的呢?從揹包容量爲0開始,1號物品先試,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量爲3則裏面放4.這樣,這一排揹包容量爲4,5,6,….10的時候，最佳方案都是放4.假如1號物品放入揹包.則再看2號物品.當揹包容量爲3的時候，最佳方案還是上一排的最價方案c爲4.而揹包容量爲5的時候，則最佳方案爲自己的重量5.揹包容量爲7的時候，很顯然是5加上一個值了。加誰??很顯然是7-4=3的時候.上一排c3的最佳方案是4.所以。總的最佳方案是5+4爲9.這樣.一排一排推下去。最右下放的數據就是最大的價值了。(注意第3排的揹包容量爲7的時候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.說明這時候3號物品沒有被選.選的是1,2號物品.所以得9.
從以上最大價值的構造過程中可以看出。
f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}這就是書本上寫的動態規劃方程.
實現
#include<stdio.h>
int c[10][100];
int knapsack(int m,int n)
{
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j){
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}else
c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Input each one(weight and value):\n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("\n");
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
if(j==14)printf("\n");
}
system("pause");
}
思路
問題的特點是：每種物品一件，可以選擇放1或不放0。
用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量爲v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
這個方程非常重要，據說基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以詳細的查了一下這個方程的含義：“將前i件物品放入容量爲v的揹包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化爲一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化爲“前i-1件物品放入容量爲v的揹包中”，價值爲f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化爲“前i-1件物品放入剩下的容量爲v-c[i]的揹包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。
在有的地方看到的揹包問題題目中，有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿揹包”時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。
如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]爲0其它f[1..V]均設爲-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿揹包的最優解。
如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是隻希望價格儘量大，初始化時應該將f[0..V]全部設爲0。
爲什麼呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量爲0的揹包可能被價值爲0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有一個合法解“什麼都不裝”，這個解的價值爲0，所以初始時狀態的值也就全部爲0了。
小結
01揹包問題是最基本的揹包問題，它包含了揹包問題中設計狀態、方程的最基本思想，另外，別的類型的揹包問題往往也可以轉換成01揹包問題求解。故仔細體會上面基本思路的得出方法。
