SG函數（博弈論）

原創

2020-02-20 18:05

SG函數起源於一個經典的問題如下：

給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認爲是所有Impartial Combinatorial Games(公平組合遊戲)的抽象模型。也就是說，任何一個ICG都可以通過把每個局面看成一個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義Sprague-Grundy（簡稱SG）函數。

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0，而sg(x) = mex ( sg(y) |y是x的後繼結點 )。

所謂後繼結點就是當前結點經過一個操作可以變成的狀態。比如對於取石子游戲，假如每次可以取的數目是1,2,4，當前的石子數目也就是當前狀態是5，那麼5的後繼結點就是{5-1, 5-2, 5-4}={4,3,1}；如果5的三個後繼結點的SG函數值分別爲0,1,3，那麼5的SG值就是集合{0,1,3}的補集的最小元素，也就是2。

關於整個遊戲的sg值之和sum，定義sum=sg1 ^ sg2 ^ sg3 ^ ……sgn. 其中^表示按位異或運算。

結論：一個遊戲的初始局面是必敗態當且僅當sum=0。

關於SG函數的計算分三種情況：

可選步數爲1~m的連續整數時，直接取模即可，SG（x）=x%（m+1）；
可選步數爲任意步時，SG（x） = x；
可選步數爲一系列不連續的整數時，只能按部就班用getSG（）函數求解。

下面給出一個SCDN上的一個具體編程例子：

石子游戲（2）

發佈公司：
有效期：

CSDN
2014-06-17至2015-06-17

難度等級：
答題時長：
編程語言要求：

120分鐘
C C++ Java C#

題目詳情

甲乙兩人面對若干堆石子，其中每一堆石子的數目可以任意確定。兩人輪流按下列規則取走一些石子，遊戲的規則如下： 1.每一步應取走至少一枚石子，至多取m枚石子；2.每一步只能從某一堆中取走石子； 3.如果誰無法按規則取子，誰就是輸家。如果甲乙兩人都採取最優的策略,甲先拿，請問,是甲必勝還是乙必勝. 輸入格式：多組數據，每組數據兩行，第一行是兩個整數N和m, 2<=N<=10000 1<=m<=10000。，下一行是N個正整數，代表每堆的石子數，石子數在32位整數內。輸出格式：每組測試數據輸出一行,如果甲存在必勝策略,輸出"Win",否則輸出"Lost"

答題說明

輸入樣例

2 3

4 4

輸出樣例：

Lost

AC代碼如下（java）：

import java.util.Scanner;

public class Main {


    public static void main(String[] args) {
        
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while(in.hasNext()){
            
            int n = in.nextInt();
            int m = in.nextInt();
            int sum = 0;
            while(n-- > 0){
                
                long t = in.nextLong();
                sum ^= t%(m+1);
                
            }
            
            if(sum == 0){
                System.out.println("Lost");
            }else{
                System.out.println("Win");
            }
            
        }
        
        
    }

}

以上一些觀點參考於其他的博文，嘿嘿~~~~~，忘大牛勿噴！！！

參考文章：http://blog.163.com/scuqifuguang@126/blog/static/171370086201101711276278/

http://www.cnblogs.com/frog112111/p/3199780.html