Gaussian Function基礎

摘要

    論文中遇到很重要的一個元素就是高斯核函數，但是必須要分析出高斯函數的各種潛在屬性，本文首先參考相關材料給出高斯核函數的基礎，然後使用matlab自動保存不同參數下的高斯核函數的變化gif動圖，同時分享出源代碼，這樣也便於後續的論文寫作。

高斯函數的基礎

2.1 一維高斯函數

高斯函數，Gaussian Function， 也簡稱爲Gaussian，一維形式如下：

對於任意的實數a,b,c，是以著名數學家Carl Friedrich Gauss的名字命名的。高斯的一維圖是特徵對稱“bell curve”形狀，a是曲線尖峯的高度，b是尖峯中心的座標，c稱爲標準方差，表徵的是bell鍾狀的寬度。

高斯函數廣泛應用於統計學領域，用於表述正態分佈，在信號處理領域，用於定義高斯濾波器，在圖像處理領域，二維高斯核函數常用於高斯模糊Gaussian Blur，在數學領域，主要是用於解決熱力方程和擴散方程，以及定義Weiertrass Transform。

從上圖可以看出，高斯函數是一個指數函數，其log函數是對數凹二次函數 whose logarithm a concave quadratic function。

高斯函數的積分是誤差函數error function，儘管如此，其在整個實線上的反常積分能夠被精確的計算出來，使用如下的高斯積分

同理可得

當且僅當

上式積分爲1，在這種情況下，高斯是正態分佈隨機變量的概率密度函數，期望值μ=b，方差delta^2 = c^2，即

2.2 二維高斯函數

    二維高斯函數，形如

A是幅值，x。y。是中心點座標，σ_x σ_y是方差，圖示如下，A = 1, x_o = 0, y_o = 0, σ_x = σ_y = 1

2.3 高斯函數分析

這一節使用matlab直觀的查看高斯函數，在實際編程應用中，高斯函數中的參數有

ksize 高斯函數的大小

sigma 高斯函數的方差

center 高斯函數尖峯中心點座標

bias 高斯函數尖峯中心點的偏移量，用於控制截斷高斯函數

爲了方便直觀的觀察高斯函數參數改變而結果也不一樣，下面的代碼實現了參數的自動遞增，並且將所有的結果圖保存爲gif圖像，首先貼出完整代碼：

 function mainfunc()
% 測試高斯函數，遞增的方法實現高斯函數參數的改變對整個高斯函數的影響，
% 並自動保存爲gif格式輸出。
% created by zhao.buaa 2016.09.28

%% 保存gif動畫
item = 10;      % 迭代次數
dt = 1;             % 步長大小
ksize =20;      % 高斯大小
sigma = 2;      % 方差大小
% filename = ['ksize-' num2str(ksize) '--' num2str(ksize+dt*item) '-sigma-' num2str(sigma) '.gif']; %必須預先建立gif文件
filename = ['ksize-' num2str(ksize)  '-sigma-' num2str(sigma) '--' num2str(sigma+dt*item) '.gif']; %必須預先建立gif文件

% main loop
for i = 1:item
    center  = round(ksize/2);          % 中心點
    bias       = ksize*10/10;              % 偏移中心點量
    ksigma = ksigma(ksize, sigma, center, bias);    % 構建核函數
    tname  = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
    figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
    %設置固定的x-y-z座標範圍，便於觀察，axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
    axis([0 ksize 0 ksize 0 0.008]);  view([0, 90]);% 改變可視角度
    % ksize 遞增
%     ksize = ksize + 10;
    % sigma 遞增
    sigma = sigma + dt;

    % 自動保存爲gif圖像
    frame = getframe(i);
    im = frame2im(frame);
    [I,map] = rgb2ind(im,256);
    if i==1
        imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
    else
        imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
    end
end;

close all;


%% 截斷高斯核函數，截斷的程度取決於參數bias
function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
%ksize = 80;    sigma = 15;
ksigma=fspecial('gaussian',ksize, sigma);   % 構建高斯函數
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if(  (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias)  )
            ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;

結果圖：

固定ksize爲20，sigma從1-9，固定center在高斯中間，並且bias偏移量爲整個半徑，即原始高斯函數。

隨着sigma的增大，整個高斯函數的尖峯逐漸減小，整體也變的更加平緩，則對圖像的平滑效果越來越明顯。

保持參數不變，對上述高斯函數進行截斷，即truncated gaussian function，bias的大小爲ksize*3/10，則結果如下圖：

truncated gaussian function的作用主要是對超過一定區域的原始圖像信息不再考慮，這就保證在更加合理的利用靠近高斯函數中心點的周圍像素，同時還可以改變高斯函數的中心座標，如下圖：

爲了便於觀察截斷的效果，改變了可視角度。

高斯核函數卷積

    論文中使用gaussian與feature map做卷積，目前的結果來看，要做到隨着到邊界的距離改變高斯函數的截斷參數，因爲圖像的邊緣如果使用原始高斯函數，就會在邊界地方出現特別低的一圈，原因也很簡單，高斯函數在與原始圖像進行高斯卷積的時候，圖像邊緣外爲0計算的，那麼如何解決邊緣問題呢？

先看一段代碼：

% 截斷高斯核函數
ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian',  ksize, 6);
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;
figure, mesh(ksigma);

在i，即row上對高斯核函數進行截斷，bias爲半徑大小，則如圖6

並且對下圖7進行卷積，

首先卷積核爲原始未截斷高斯核函數，則結果如圖8

可以看出，在圖像邊緣處的卷積結果出現不想預見的結果，邊緣處的值出現大幅度減少的情況，這是高斯核函數在邊緣處將圖像外的部分當成0計算的結果，因此，需要對高斯核函數進行針對性的截斷處理，但是前提是要掌握bias的規律，下面就詳細分析。

如果使用圖6的高斯核函數與圖7做卷積操作，則如圖9：

可以看出，相比較於圖8，與高斯核函數相對應的部分出現了變化，也就是說：

if( i<25 )
   ksigma(i,j) = 0;
end;

靠近邊緣的時候，改變 i 或 j 的值，即可保證邊緣處的平滑處理。但是這樣改變高斯核函數，使用matlab不是很好解決這個問題，還是使用將待處理圖像邊緣向外部擴展bias的大小，與標準高斯核函數做卷積，再將超過原始圖像大小的部分剪切掉，目前來看在使用matlab中imfilter函數做卷積運算最合適且最簡單的處理方法了，先寫在這裏，此部分並不是論文中的核心部分，只是數值運算的技巧性編程方法。